【博弈论】关于蒙蒂霍尔问题（三门问题）的讨论

洛谷期中考试的第三题，思维型非常强，其来源就是美国的三门问题，又称：蒙蒂霍尔问题或山车问题。

三门问题的原型是这样的：

「假设你正在参加一个游戏节目，你被要求在三扇门中选择一扇：
其中一扇后面有一辆车；其余两扇后面则是山羊。
你选择了一道门，假设是一号门，然后知道门后面有什么的主持人，
开启了另一扇后面有山羊的门，假设是三号门。
他然后问你：“你想选择二号门吗？”转换你的选择对你来说是一种优势吗？」

如果是按照人的【直觉】的话，肯定是每个门有车的概率都是1/3啊，所以换不换都一样。

没错，我一开始也是这么想的，但是如果是这样，那为什么还要把这种题放到NOIP的提高组里。实际上，上面的那种【直觉】是错误的，完全错误的！

再推了一大张打草纸后，发现对于这个问题，每次当主持人告诉你其中的一个错误选项后，你做出的觉得必须要换，换对你来说是一种优势。

我们可以这么开看待这个问题：

1.当前选择的那个门，有汽车的概率是33%，另外两个门有汽车的概率是66%。 【到这里没问题吧，神奇的在下面】

2.主持人告诉你另外两个门中有一个门没有汽车，那那个门就可以扔掉了，那剩下的那个门，拥有汽车的概率就66%。【是不是？是不是这样看，转换是有优势的！】

---

接下来，对于该问题进行推广，推广到OI中：

题目描述

Bob 正在考试，他遇到了一个奇怪的选择题：这个选择题共有 n个选项，其中只有一个选项是正确的。他完全不会做这题，所以只能靠蒙。

蒙这道题分为 n−2n轮，在第 1 轮开始之前，Bob 会在这 n 个选项中随机蒙一项，之后的每轮流程如下：首先，Alice 会过来帮他排除一个选项，由于 Alice 事先知道答案，所以她会在现有的除正确的那一项和 Bob 正在选的那一项外的选项里，随机删去一个。之后，Bob 可以选择是否更换自己蒙的选项，如果更换，则随机更换到除正在选的那一项之外的任意一项。

Bob 在这 n−2n  轮中，由于和 Alice 达成的神秘协定，需要恰好更换 kkk 次选项。他想知道，如何更换，使得自己蒙对的概率最大，输出这个概率。为了方便，你需要输出这个概率的分数形式在模 109+710^9 + 7 意义下的结果。

前k-1次更换选项，最后1次更换选项的机会要留到最后。可以推出递归式，然后解答即可。

代码实现：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = 100005;
const int MOD = (int)1e9 + 7;
int fexp(int a, int b) {
  int res = 1;
  for(int i = 1; i <= b; i <<= 1) {
    if(i & b) res = 1LL * res * a % MOD;
    a = 1LL * a * a % MOD;
  }
  return res;
}

int inv(int x) {
  return fexp(x, MOD - 2);
}

int f[MAXN], g[MAXN];
int main() {
  int n, k;
  scanf("%d %d", &n, &k);
  if(k == 0) {
    printf("%lld\n", 1LL * inv(n) % MOD);
  } else if(k == 1) {
    printf("%lld\n", 1LL * (n - 1) * inv(n) % MOD);
  } else {
    puts("GG");
  }
  return 0;
}