poj 1759(二分)

传送门:Problem 1759

https://www.cnblogs.com/violet-acmer/p/9793209.html

 

题意：

　　有N个彩灯关在同一条绳上，给出第一个彩灯的高度A，并给出求解其他彩灯的公式 h[i]=(h[i-1]+h[i+1])/2-1;

　　求最后一个彩灯的最低高度，并且保证所有的彩灯都不会着地。

题解：

　　二分第二个彩灯的高度h[2]，h[2]越小，h[N]就越小。

　　证明：

　　　　假设最低的彩灯为 i。

　　　　由公式可得 h[2] = (h[1]+h[3])/2-1;

　　　　有了前两个彩灯的高度，将公式稍加变形，得h[3]=(h[2]+1)*2-h[1].

　　　　即，对于 i > 2 ，有 h[i]=(h[i-1]+1)*2-h[i-2];

　　　　(1):如果 i == N,则根据公式 h[i]=(h[i-1]+1)*2-h[i-2]; h[2] 越低，则h[3]就越低，近而推出h[4]就越底，当然也就推出 h[N]就越低。

　　　　(2):如果 i < N,则有(1)可知，h[2]越低，则h[i-1],h[i]就越低，h[i+1]=(h[i]+1)*2-h[i-1];

　　　　      如果将h[i]+1中的 +1 去掉，h[i+1]=h[i]*2-h[i-1] => h[i]=(h[i+1]+h[i-1])/2 ，易知，i 为 线段(i-1)(i+1)得中点，此时，h[i]与h[i-1]同步下降，但不会改变h[i+1]得高度

　　　 （因为下降后的两点i',(i-1)'与(i+1)构成的三角形与i,(i-1),(i+1)三点构成的三角形相似），但 +1 后，i与(i-1)同时下降，下降的角度相同，但h[i]多个+1,所以h[i+1]就变得越低，则h[N]就会变得越低。

　　　　目前还没有能力证出 i < N 时，h[2]越低，则h[N]越低，有大佬会的话还望指点一番%%%%%%%%%

AC代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
#define eps 1e-6
const int maxn=1e3+50;

int N;
double A;
double h[maxn];

bool Check(double x)
{
    h[1]=A,h[2]=x;
    for(int i=3;i <= N;i++)
    {
        h[i]=(h[i-1]+1)*2-h[i-2];
        if(h[i] < eps)//注意，此处是与 eps 比较
            return false;
    }
    return true;
}

int main()
{
    scanf("%d%lf",&N,&A);
    double l=0,r=A;
    for(int i=1;i <= 100;++i)
    {
        double mid=l+((r-l)/2);
        if(Check(mid))
            r=mid;
        else
            l=mid;
    }
    printf("%.2f\n",h[N]);
    return 0;
}

 还有一个疑惑就是，为什么答案不向上取整？

printf()输出的结果是四舍五入的，如果h[N]=10.123,则输出结果为10.12,最后一个彩灯的高度又下降了一些，在下降后为什么就能保证所有的彩灯不着地？