FSK调制信号的最佳非相干检测

对等概率的FSK信号传输，信号等能量，最佳判决规则由下式确定

\[\hat{m}=\mathop{\arg\max}\limits_{1\le m\le M}|\bold{r_{1}\cdot s_{ml}}|\tag{1} \]

假设信号之间的频率间隔为\(\Delta f\)，FSK信号的一般形式为

\[\begin{aligned} s_{m}(t)&=g(t)\cos(2\pi f_{c}t+2\pi(m-1)\Delta f t)\\ &=\text{Re}[g(t)e^{j2\pi (m-1)\Delta f t}e^{j2\pi f_{c}t}],\quad 1\le m\le M \end{aligned}\tag{2}\]

式中，\(g(t)\)是持续时间为\(T_{s}\)的矩形脉冲，\(\mathcal{E}_{g}=2\mathcal{E}_{s}\)，其中\(\mathcal{E}_{s}\)表示发送符号能量。在接收机中，最佳非相干接收机将\(r_{l}(t)\)与\(s_{m'l}(t)\)对所有\(1\le m \le M\)进行相关运算。假设发送\(s_{m}(t)\)，有

\[\begin{aligned} \left|\int_{-\infty}^{\infty}r_{l}(t) s_{m'l}^{*}(t)dt\right| &= \left| \int_{-\infty}^{\infty}\big(s_{ml}(t)+n_{l}(t)\big)s_{m'l}^{*}(t)dt\right|\\ &=\left| \int_{-\infty}^{\infty}s_{ml}(t)s_{m'l}^{*}(t)dt+\int_{-\infty}^{\infty}n_{l}(t)s_{m'l}^{*}(t)dt\right| \end{aligned}\tag{3}\]

其中

\[\begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty}s_{ml}(t)s_{m'l}^{*}(t)dt &= \frac{2\mathcal{E}_{s}}{T_{s}}\int_{0}^{T_{s}}e^{j2\pi(m-1)\Delta ft}e^{-j2\pi(m'-1)\Delta ft}dt\\ &=\frac{2\mathcal{E}_{s}}{T_{s}}\int_{0}^{T_{s}}e^{j2\pi (m-m')\Delta ft}dt\\ &=\frac{2\mathcal{E}_{s}}{T_{s}}\frac{1}{j2\pi(m-m')\Delta f}\left[e^{j2\pi(m-m')\Delta f T_{s}}-1\right]\\ &=2\mathcal{E}_{s}e^{j\pi(m-m')\Delta fT_{s}}\text{sinc}[(m-m')\Delta fT_{s}] \end{aligned} \tag{4} \]

(4)式表明，当且仅当\(\Delta f = k/T_{s}\)(k为整数)时，\(\langle s_{ml}(t),s_{m'l}(t) \rangle = 0\)（对所有\(m'\ne m\)）。这是在非相干检测情况下的FSK正交性的条件。

然而，对于相干检测，检测器利用

\[\hat{m}=\mathop{\arg\max}\limits_{1\le m\le M}\left(\text{Re}\left[\int_{-\infty}^{\infty}r_{l}(t)s_{ml}^{*}(t)dt-\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty}|s_{ml}(t)|^{2}dt\right]\right) \]

此时，正交性必须满足

\[\begin{aligned} \text{Re}\left[\int_{-\infty}^{\infty}s_{ml}(t)s_{m'l}^{*}(t)dt\right]&=2\mathcal{E}_{s}\cos\Big(\pi(m-m')\Delta fT_{s}\Big)\text{sinc}[(m-m')\Delta fT_{s}]\\ &=2\mathcal{E}_{s}\text{sinc}[2(m-m')\Delta fT_{s}] \end{aligned} \]

显然，在这种情况下正交性的条件为\(\Delta f=k/2T_{s}\)。上述讨论表明，非相干检测下的正交性能够保证相干检测下的正交性，但是反之不亦然。

FSK信号传输的最佳非相干检测规则遵循一般等该等能量信号的非相干检测规则，用包络或平方律检测器实现。