矢量AWGN信道的最佳检测

N维矢量AWGN信道为

\[\bold{r=s_{m}+n},\quad 1\le m \le M\tag{1} \]

式中噪声矢量的各分量是iid均值为零，方差为\(N_{0}/2\)的高斯随机变量。该信道的MAP检测器为

\[\begin{aligned} \bold{\hat{s}_{m}}&=\mathop{\arg\max}\limits_{1\le m\le M}[P_{m}p(\bold{r|s_{m}})]=\mathop{\arg\max}\limits_{1\le m\le M}P_{m}[p_{\bold{n}}(\bold{r-s_{m}})]\\ &=\mathop{\arg\max}\limits_{1\le m\le M}\left[P_{m}\left(\frac{1}{\sqrt{\pi N_{0}}}\right)^{N}e^{-\frac{||\bold{r-s_{m}||^{2}}}{N_{0}}}\right]\overset{(a)}{=}\mathop{\arg\max}\limits_{1\le m\le M}\left[P_{m}e^{-\frac{||\bold{r-s_{m}||^{2}}}{N_{0}}}\right]\\ &\overset{(b)}{=}\mathop{\arg\max}\limits_{1\le m\le M}\left[\ln P_{m}-\frac{||\bold{r-s_{m}}||^{2}}{N_{0}}\right]\overset{(c)}{=}\mathop{\arg\max}\limits_{1\le m\le M}\left[\frac{N_{0}}{2}\ln P_{m}-\frac{1}{2}||\bold{r-s_{m}}||^{2}\right]\\ &=\mathop{\arg\max}\limits_{1\le m\le M}\left[\frac{N_{0}}{2}\ln P_{m}-\frac{1}{2}(||\bold{r}||^{2}+||\bold{s_{m}}||^{2}-2\bold{r\cdot s_{m}})\right]\\ &=\mathop{\arg\max}\limits_{1\le m\le M}\left[\frac{N_{0}}{2}\ln P_{m}-\frac{1}{2}||\bold{s_{m}}||^{2}+\bold{r\cdot s_{m}}\right]\overset{(e)}{=}\mathop{\arg\max}\limits_{1\le m\le M}[\eta_{m}+\bold{r\cdot s_{m}}] \end{aligned}\tag{2}\]

上式中应用了简化公式的下列步骤：
(a) : \(1/\sqrt{\pi N_{0}}\)是正常数，可以舍去；
(b) : \(\ln(\cdot)\)是增函数；
(c) : \(N_{0}/2\)是正的，且与正数相乘并不影响\(\mathop{\arg\max}\)的结果；
(d) : \(||\bold{r}||^{2}\)可以舍去，因为它与\(m\)和\(||\bold{s_{m}}||^{2}=\mathcal{E}_{m}\)无关；
(e) : 定义

\[\eta_{m}=\frac{N_{0}}{2}\ln P_{m}-\frac{1}{2}\mathcal{E}_{m} \]

为偏差项。

由式(2)可见，AWGN矢量信道的最佳(MAP)判决规则为

\[\bold{\hat{s}_{m}}=\mathop{\arg\max}\limits_{1\le m\le M}[\eta_{m}+\bold{r\cdot s_{m}}],\quad \eta_{m}=\frac{N_{0}}{2}\ln P_{m}-\frac{1}{2}\mathcal{E}_{m}\tag{3} \]

在信号等概率的特殊情况下，即\(P_{m}=1/M\)，该关系可以简化为

\[\begin{aligned} \bold{\hat{s}_{m}} &= \mathop{\arg\max}\limits_{1\le m\le M}\left[\frac{N_{0}}{2}\ln \frac{1}{M}-\frac{1}{2}||\bold{r-s_{m}}||^{2}\right]\\ &=\mathop{\arg\max}\limits_{1\le m\le M}[-||\bold{r-s_{m}}||^{2}]=\mathop{\arg\min}\limits_{1\le m\le M}[||\bold{r-s_{m}}||] \end{aligned}\tag{4}\]

式中，\(-||\bold{r-s_{m}}||^{2}\)的最大化等价于其负值（即\(||\bold{r-s_{m}}||^{2}\)）的最小化，也就等价于其平方根\(||\bold{r-s_{m}}||\)最小化。

式(4)的几何解释为：接收机接收\(\bold{r}\)并以标准欧氏距离在所有\(\bold{s_{m}}\)中寻找与\(\bold{r}\)最接近者，这样的检测器被称为最近邻或最小距离检测器。

当信号等概率且等能量时，偏差项\(\eta_{m}=N_{0}/2\ln P_{m}-\mathcal{E}_{m}/2\)独立于m，可以从式(3)中舍去。这种情况下，最佳判决规则简化为

\[\bold{\hat{s}_{m}}=\mathop{\arg\max}\limits_{1\le m\le M} \bold{r\cdot s_{m}}\tag{5} \]

一般判决域\(D_{m}\)为

\[D_{m}=\left\{\bold{r}\in\mathbb{R}^{N}:\bold{r\cdot s_{m}+\eta_{m}>\bold{r\cdot s_{m'}}+\eta_{m'}},\quad 1\le m' \le M, m'\ne m\right\} \]

已知

\[\bold{r\cdot s_{m}}=\int_{-\infty}^{\infty}r(t)s_{m}(t)dt\tag{6} \]

\[\mathcal{E}_{m} = ||\bold{s}||^{2}=\int_{-\infty}^{\infty}s_{m}^{2}(t)dt\tag{7} \]

那么，AWGN信道的最佳MAP检测规则可以表示为以下形式：

\[\bold{\hat{s}_{m}}=\mathop{\arg\max}\limits_{1\le m\le M}\left[\frac{N_{0}}{2}\ln P_{m}-\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty}s_{m}^{2}(t)dt+\int_{-\infty}^{\infty}r(t)s_{m}(t)dt\right]\tag{8} \]

ML检测器的形式为

\[\bold{\hat{s}_{m}}=\mathop{\arg\max}\limits_{1\le m\le M}\left[-\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty}s_{m}^{2}(t)dt+\int_{-\infty}^{\infty}r(t)s_{m}(t)dt\right]\tag{9} \]

1. 二进制双极性信号传输的最佳检测

在二进制双极性信号传输方式中，\(s_{1}(t)=s(t)\)和\(s_{2}(t)=-s(t)\)。消息1和2的概率分别为p和1-p。显然，这是\(N=1\)的情况，两个号的矢量表示只是标量\(\bold{s_{1}}=\sqrt{\mathcal{E}_{s}}\)和\(\bold{s_{2}}=-\sqrt{\mathcal{E}_{s}}\)，其中\(\mathcal{E}_{s}\)是每个信号的能量且等于\(\mathcal{E}_{b}\)。

判决域\(D_{1}\)为

\[\begin{aligned} D_{1} &= \left\{r:\frac{N_{0}}{2}\ln p -\frac{1}{2}\mathcal{E}_{b}+r\sqrt{\mathcal{E}_{b}}>\frac{N_{0}}{2}\ln(1-p) -\frac{1}{2}\mathcal{E}_{b}-r\sqrt{\mathcal{E}_{b}}\right\}\\ &=\left\{r:r>\frac{N_{0}}{4\sqrt{\mathcal{E}_{b}}}\ln \frac{1-p}{p}\right\}=\{r:r>r_{th}\} \end{aligned}\tag{10}\]

式中，门限\(r_{th}\)定义为

\[r_{th}=\frac{N_{0}}{4\sqrt{\mathcal{E}_{b}}}\ln \frac{1-p}{p}\tag{11} \]

星座和判决域如下图所示

可以发现，当\(p\rightarrow 0\)时，\(r_{th}\rightarrow \infty\)，全部直线变为\(D_{2}\)；当\(p\rightarrow 1\)时，全部直线变为\(D_{1}\)。同时可见，当\(p=1/2\)时（即消息等概率）\(r_{th}=0\)。

差错概率为

\[\begin{aligned} P_{e} &= \sum_{m=1}^{2}P_{m}\sum_{1\le m'\le 2\\m'\ne m}\int_{D_{m'}}p(\bold{r|s_{m}})d\bold{r}\\ &=p\int_{D_{2}}p(r|s=\sqrt{\mathcal{E}_{b}})dr+(1-p)\int_{D_{1}}p(r|s=-\sqrt{\mathcal{E}_{b}})dr\\ &=p\int_{-\infty}^{r_{th}}p(r|s=\sqrt{\mathcal{E}_{b}})dr+(1-p)\int_{r_{th}}^{\infty}p(r|s=-\sqrt{\mathcal{E}_{b}})dr\\ &=p P\left[\mathcal{N}(\sqrt{\mathcal{E}_{b}},N_{0}/2)<r_{th}\right]+(1-p) P\left[\mathcal{N}(-\sqrt{\mathcal{E}_{b}},N_{0}/2)>r_{th}\right]\\ &=p Q\left(\frac{\sqrt{\mathcal{E}_{b}}-r_{th}}{\sqrt{N_{0}/2}}\right)+(1-p)Q\left(\frac{\sqrt{\mathcal{E}_{b}}+r_{th}}{\sqrt{N_{0}/2}}\right) \end{aligned}\tag{12}\]

2.等概率二进制信号传输方式的差错概率

发射机将两个等概率的信号\(s_{1}(t)\)和\(s_{2}(t)\)在AWGN信道上传输。因为信号等概率，判决域由\(\bold{s_{1}}\)与\(\bold{s_{2}}\)连线的垂直平分线来划分。由于对称性，发送\(\bold{s_{1}}\)或\(\bold{s_{2}}\)的差错概率相等。，下图显示了判决域\(\bold{s_{1}}\)与\(\bold{s_{2}}\)连线的垂直平分线。

当发送\(\bold{s_{1}}\)，如果\(\bold{r}\)位于\(D_{2}\)内则发生差错，这意味着\(\bold{r-s_{1}}\)在\(\bold{s_{2}-s_{1}}\)上的投影（即A点）与\(\bold{s_{1}}\)之间的距离大于\(d_{12}/2\)，其中\(d_{12}=||\bold{s_{2}-s_{1}}||\)。差错概率为：

\[\begin{aligned} P_{b} &= P\left[||n||\cos(\theta)>\frac{d_{12}}{2}\right] \end{aligned}\]

又因为

\[\begin{aligned} \bold{n\cdot(s_{2}-s_{1})}&=||\bold{n}||\cdot||\bold{s_{2}-s_{1}}||\cdot\cos(\theta)\\ &=||\bold{n}||\cdot d_{12}\cdot \cos(\theta) \end{aligned}\]

从而差错概率为：

\[\begin{aligned} P_{b} &= P\left[\frac{\bold{n\cdot(s_{2}-s_{1})}}{d_{12}}>\frac{d_{12}}{2}\right]\\ &= P\left[\bold{n\cdot(s_{2}-s_{1})}>\frac{d_{12}^{2}}{2}\right] \end{aligned}\]

假设\(\bold{n,s_{1},s_{2}}\)是N维矢量，并假设\(\bold{s=s_{2}-s_{1}}=(s_{1},s_{2},\cdots,s_{N})\)。已知矢量\(\bold{n}\)中的每一个分量都是均值为零方差为\(N_{0}/2\)的高斯随机变量。那么可知

\[\bold{n\cdot(s_{2}-s_{1})}=\sum_{i=1}^{N}n_{i}s_{i} \]

是高斯随机变量的线性组合，因此其也是高斯随机变量，且其均值为

\[E[\bold{n\cdot(s_{2}-s_{1})}]=E\left[\sum_{i=1}^{N}n_{i}s_{i}\right]=\sum_{i=1}^{N}E[n_{i}]s_{i} = 0 \]

方差为：

\[\begin{aligned} D[\bold{n\cdot(s_{2}-s_{1})}]&=D\left[\sum_{i=1}^{N}n_{i}s_{i}\right]=\sum_{i=1}^{N}D[n_{i}]s_{i}^{2}\\ &=\sum_{i=1}^{N}\frac{N_{0}}{2}s_{i}^{2}=\frac{N_{0}}{2} ||\bold{s_{2}-s_{1}}||\\ &=\frac{N_{0}}{2}d_{12}^{2} \end{aligned}\]

于是可以得到

\[P_{b} = Q\left(\frac{\frac{d_{12}^{2}}{2}}{d_{12}\sqrt{\frac{N_{0}}{2}}}\right)=Q\left(\sqrt{\frac{d_{12}^{2}}{2N_{0}}}\right)\tag{13} \]

式(13)是非常一般化的，它适用于所有二进制等概率信号传输系统而不管信号的形状如何。因为\(Q(\cdot)\)是降函数，要试差错概率最小，必须使信号之间的距离最大。距离\(d_{12}\)为

\[d_{12}^{2}=\int_{-\infty}^{\infty}(s_{1}(t)-s_{2}(t))^{2}dt \]

在二进制信号等概率且等能量（即\(\mathcal{E}_{1}=\mathcal{E}_{2}=\mathcal{E}\)）的特殊情况下，展开上式可以得到

\[d_{12}^{2}=\mathcal{E}_{s_{1}}+\mathcal{E}_{s_{2}}-2\langle s_{1}(t),s_{2}(t) \rangle = 2\mathcal{E}-2\mathcal{E}\frac{\langle s_{1}(t),s_{2}(t) \rangle}{\mathcal{E}}=2\mathcal{E}(1-\rho) \]

式中，\(\rho\)是\(s_{1}(t)\)与\(s_{2}(t)\)之间的互相关系数。由于\(-1\le\rho\le1\)，可见，当\(\rho=-1\)即双极性信号时，二进制信号分离最远，这种情况下系统的差错概率最小。

3. 二进制正交信号传输的最佳检测

二进制正交信号满足

\[\int_{-\infty}^{\infty}s_{i}(t)s_{j}(t)dt=\left\{\begin{aligned}&\mathcal{E},\quad &i=j\\&0,\quad&i\ne j\end{aligned}\right. \]

因为系统是二进制的，\(\mathcal{E}_{b}=\mathcal{E}\)。这里选择\(\phi_{j}(t)=s_{j}(t)/\sqrt{\mathcal{E}_{b}},j=1,2\)，那么信号集的矢量表示为

\[\bold{s_{1}}=(\sqrt{\mathcal{E}_{b}},0),\quad \bold{s_{2}}=(0,\sqrt{\mathcal{E}_{b}}) \]

在信号等概率的情况下，星座图和最佳判决域如下图所示：

显然这种传输方式的信号点距离为$d=\sqrt{2\mathcal{E}_{b}}$。利用式(13)可以得到该系统的查过概率为 $$P_{b}=Q\left(\sqrt{\frac{d^{2}}{2N_{0}}}\right)=Q\left(\sqrt{\frac{\mathcal{E_{b}}}{N_{0}}}\right)\tag{14}$$

对于等概率双极性二进制信号，\(\bold{s_{1}}=\sqrt{\mathcal{E}_{b}},\bold{s_{2}}=-\sqrt{\mathcal{E}_{b}}\)，因此

\[d_{12}^{2} = ||2\sqrt{\mathcal{E}_{b}}||^{2} = 4\mathcal{E}_{b} \]

从而

\[P_{e} = Q\left(\sqrt{\frac{d_{12}^{2}}{2N_{0}}}\right)=Q\left(\sqrt{\frac{2\mathcal{E_{b}}}{N_{0}}}\right)\tag{15} \]

对比式(14),(15)可以看出，在提供同样的差错概率条件下，二进制正交信号传输的比特能量是二进制双极性信号传输系统的两倍。因此二进制正交信号传输的功率效率是二进制双极性信号传输的一半。

许多信号传输系统的差错概率表达式中出现比值

\[\gamma_{b}=\frac{\mathcal{E}_{b}}{N_{0}}\tag{16} \]

称为通信系统的每比特信号噪声比，或比特信噪比，或简称为信噪比(SNR)。

下图所示为二进制双极性信号和二进制正交信号传输的差错概率曲线，它是比特信噪比的函数。该图表明正交信号的曲线是双极性信号曲线平移3dB的结果。