1.三角级数
正弦函数是一种常见而简单的周期函数，例如描述简谐振动的函数：
\[y=A\text{sin}(\omega t+\varphi)
\]
就是一个以\(2\pi/\omega\)为周期的正弦函数，y表示动点的位置，t表示时间，A为振幅，\(\omega\)为角频率，\(\varphi\)为初相。
实际问题中，除了正弦函数外，还会遇到非正弦函数的周期函数，它们反映了较复杂的周期运动，如矩形波等。为了深入研究非正弦周期函数，傅里叶老兄就想用较为简单的周期函数例如三角函数来展开它（至于怎么来的，不做深究，据说是解热方程和弦振动导出的）。即将周期为\(T(=\frac{2\pi}{\omega})\)的周期函数用一系列周期为T的正弦函数组成的级数来表示：
\[f(t)=A_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}A_{n}\text{sin}(n\omega t+\varphi_{n}) \tag{1.1}
\]
上式中\(t\)是变量，其他都是常数。这也是所谓的“谐波分析”，其中\(A_{0}\)称为f(t)的直流分量；\(A_{1}\text{sin}(\omega t + \varphi_{1})\)则是一次谐波（基波）；而\(A_{2}\text{sin}(2\omega t + \varphi_{2}), A_{3}\text{sin}(3\omega t + \varphi_{3}),\cdots\)依次是二次谐波，三次谐波，等等。
将上式中的三角函数展开有：
\[A_{n}\text{sin}(n\omega t+\varphi_{n})=A_{n}[\text{sin}(n\omega t)\cos\varphi_{n} + \cos (n\omega t)\sin\varphi_{n}
\]
我们令：\(a_{n}=A_{n}\sin\varphi_{n}, b_{n}=A_{n}\cos\varphi_{n}\)，可以得到：
\[A_{n}\text{sin}(n\omega t+\varphi_{n})=a_{n}\text{cos}(n\omega t)+b_{n}\text{sin}(n\omega t) \tag{1.2}
\]
将式\((1.2)\)带入到式\((1.1)\)，并且令\(\frac{a_{0}}{2}=A_{0}\)可以得到
\[f(t)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}[a_{n}\text{cos}(n\omega t) + b_{n}\text{sin}(n\omega t)] \tag{1.3}
\]
这就是三角级数了。其中\(a_{0},a_{n},b_{n},n=1,2,3,\cdots\)都是常数。那么问题来了，怎么计算它们呢？
2. 三角函数系的正交性
所谓的三角函数系
\[0\rightarrow\text{sin}0x, 1\rightarrow\text{cos}0x, \text{cos}x,\text{sin}x, \text{cos}2x,\text{sin}2x,\cdots,\text{cos}nx,\text{sin}nx,\cdots \tag{2.1}
\]
在区间\([-\pi,\pi]\)上正交，就是指在三角函数系\((2.1)\)中任何不同的两个函数的乘积在区间\([-\pi,\pi]\)上的积分等于0。两个相同函数的乘积在区间\([-\pi,\pi]\)上的积分不等于0。
3. 周期为\(2\pi\)的周期函数展开成傅里叶级数
设\(f(x)\)是周期为\(2\pi\)的周期函数，且能展开成三角级数：
\[f(x) = \frac{a_{0}}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}(a_{n}\text{cos}kx+b_{k}\text{sin}kx) \tag{3.1}
\]
先求\(a_{0}\)，对\((3.1)\)式的两边在区间\([-\pi,\pi]\)逐项积分：
\[\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx=\int_{-\pi}^{\pi}\frac{a_{0}}{2}dx+\sum_{k=1}^{\infty}[a_{k}\int_{-\pi}^{\pi}\text{cos}kxdx+b_{k}\int_{-\pi}^{\pi}\text{sin}kxdx]
\]
根据三角函数系的正交性，上式的右边除了第一项外，其余各项均为0，所以：
\[\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx=\frac{a_{0}}{2}\cdot2\pi
\]
于是得到：
\[a_{0}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx \tag{3.2}
\]
然后求\(a_{n}\)：在\((3.1)\)式两端乘以\(\text{cos}nx\)，再在区间\([-\pi,\pi]\)逐项积分，可得：
\[\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\text{cos}nxdx=\int_{-\pi}^{\pi}\frac{a_{0}}{2}dx+\sum_{k=1}^{\infty}[a_{k}\int_{-\pi}^{\pi}\text{cos}kx\text{cos}nxdx+b_{k}\int_{-\pi}^{\pi}\text{sin}kx\text{cos}nxdx]
\]
根据三角函数系的正交性，上式右端除\(k=n\)的一项外，其余各项均为零，所以：
\[\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\text{cos}nxdx=a_{n}\int_{-\pi}^{\pi}\text{cos}^{2}nxdx=\frac{a_{n}}{2}\int_{-\pi}^{\pi}(1+\text{cos}2nx)dx=a_{n}\pi
\]
于是可以得到
\[a_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\text{cos}nxdx\quad (n=1,2,3,\cdots) \tag{3.3}
\]
类似地，在\((3.1)\)式两端乘以\(\text{sin}nx\)，再在区间\([-\pi,\pi]\)逐项积分，可得：
\[b_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\text{sin}nxdx\quad (n=1,2,3,\cdots) \tag{3.4}
\]
由于当n=0时，\(a_{n}\)的表达式正好给出\(a_{0}\)，因此，已得结果可以合并写成：
\[\left \{
\begin{aligned}
a_{n}&=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\text{cos}nxdx\quad (n=1,2,3,\cdots) \\
b_{n}&=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\text{sin}nxdx\quad (n=1,2,3,\cdots)
\end{aligned}
\right. \tag{3.5}
\]
如果公式\((3.5)\)中的积分都存在，这时它们定出的系数\(a_{0},a_{1},b_{1},\cdots\)叫做函数\(f(x)\)的傅里叶系数，将这些系数带入式\((3.1)\)右端，所得的三角级数
\[\frac{a_{0}}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}(a_{n}\text{cos}nx+b_{k}\text{sin}nx) \tag{3.6}
\]
也就是所谓的函数\(f(x)\)的傅里叶级数。
一个定义在\((-\infty,+\infty)\)上周期为\(2\pi\)的函数\(f(x)\)，如果它在一个周期上可积，则一定可以作出\(f(x)\)的傅里叶级数。然而，函数\(f(x)\)的傅里叶级数是否一定收敛？如果它收敛，它是否一定收敛于函数\(f(x)\)？一般来说，这两个问题的答案都不是肯定的。那么，\(f(x)\)在怎样的条件下，它的傅里叶级数不仅收敛，而且收敛于\(f(x)\)？也就是说，\(f(x)\)满足什么条件可以展开成傅里叶级数？
给出下面的定理：
定理（收敛定理，迪利克雷(Dirichlet)充分条件）：设\(f(x)\)是周期为\(2\pi\)的周期函数，如果它满足：
- 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点；
- 在一个周期内至多只有有限个极值点
则\(f(x)\)的傅里叶级数收敛，并且
- 当\(x\)是\(f(x)\)的连续点时，级数收敛于\(f(x)\)；
- 当\(x\)是\(f(x)\)的间断点是，级数收敛于\(\frac{1}{2}[f(x^{-})+f(x^{+})]\)
不用知道怎么证明这个定理了，高等数学也没给出证明过程。
4. 一般周期函数的傅里叶级数
4.1 周期为\(2l\)的周期函数的傅里叶级数
上面讨论的周期函数都是以\(2\pi\)为周期的，但是实际问题中遇到的周期函数，它的周期不一定是\(2\pi\)。
定理
设周期为\(2l\)的周期函数\(f(x)\)满足收敛定理的条件，则它的傅里叶级数展开式为
\[f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_{n}\text{cos}\frac{n\pi x}{l}+b_{n}\text{sin}\frac{n\pi x}{l}), \quad x\in C \tag{4.1}
\]
其中
\[\left \{
\begin{aligned}
a_{n}&=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\text{cos}\frac{n\pi x}{l}dx\quad (n=1,2,3,\cdots) \\
b_{n}&=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\text{sin}\frac{n\pi x}{l}dx\quad (n=1,2,3,\cdots)
\end{aligned}
\right. \tag{4.2}
\]
当\(f(x)\)为奇函数时，
\[f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}\text{sin}\frac{n\pi x}{l}, \quad x\in C \tag{4.3}
\]
其中：
\[b_{n}=\frac{2}{l}\int_{0}^{l}f(x)\text{sin}\frac{n\pi x}{l}dx\quad (n=1,2,3,\cdots) \tag{4.4}
\]
当\(f(x)\)为偶函数时，
\[f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\text{cos}\frac{n\pi x}{l}, \quad x\in C \tag{4.5}
\]
其中：
\[a_{n}=\frac{2}{l}\int_{0}^{l}f(x)\text{cos}\frac{n\pi x}{l}dx\quad (n=1,2,3,\cdots) \tag{4.6}
\]
证明：
作变量代换\(z=\frac{\pi x}{l}\),于是区间\([-l,l]\)就变换成\([-\pi,\pi]\)。设函数\(f(x)=f(\frac{lz}{\pi})=g(z)\)，从而\(g(z)\)是周期为\(2\pi\)的周期函数，将其展开成傅里叶级数：
\[g(z)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_{n}\text{cos}nz+b_{n}\text{sin}nz)
\]
其中，\(a_{n} =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}g(z)\text{cos}nzdz,\ b_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\text{sin}nzdz\)
在以上式子中，\(z=\frac{\pi x}{l},\ dz=\frac{\pi}{l}dx,\ g(z)=f(x),\ [-\pi,\pi]\rightarrow[-l,l]\)因此有：
\[f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_{n}\text{cos}\frac{n\pi x}{l}+b_{n}\text{sin}\frac{n\pi x}{l})
\]
\[a_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}g(z)\text{cos}nzdz=\frac{1}{\pi}\int_{-l}^{l}f(x)\text{cos}(\frac{n\pi x}{l})\frac{\pi}{l}dx=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\text{cos}\frac{n\pi x}{l}dx
\]
\[b_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}g(z)\text{sin}nzdz=\frac{1}{\pi}\int_{-l}^{l}f(x)\text{sin}(\frac{n\pi x}{l})\frac{\pi}{l}dx=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\text{sin}\frac{n\pi x}{l}dx
\]
类似地，可以证明定理的其余部分。
4.2 工程中上述傅里叶级数的变形
工程中一般是以时间\(t\)作为变量，即\(x\rightarrow t\)，且时间\(t\)是从0开始的，周期为\(T=2l\)，由此可得
\[l=\frac{T}{2}
\]
另外积分区间将由\([-l,l]\)变为\([0,2l]=[0,T]\)，将上式以及积分区间带入式\((4.1),(4.2)\)可得：
\[\begin{aligned}
f(t) &=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_{n}\text{cos}\frac{n\pi t}{T/2}+b_{n}\text{sin}\frac{n\pi t}{T/2})\\
&=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}[a_{n}\text{cos}(\frac{2\pi}{T}nt)+b_{n}\text{sin}(\frac{2\pi}{T}nt)]\\
&=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}[a_{n}\text{cos}(\omega nt)+b_{n}\text{sin}(\omega nt)]
\end{aligned} \tag{4.7}
\]
\[\begin{aligned}
a_{n}&=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\text{cos}\frac{n\pi x}{l}dt \\
&= \frac{1}{T/2}\int_{0}^{T}f(t)\text{cos}(\frac{2\pi}{T}nt)dt \\
& = \frac{2}{T}\int_{0}^{T}f(t)\text{cos}(\omega nt)dt \quad (n=1,2,3,\cdots)
\end{aligned} \tag{4.8}
\]
\[\begin{aligned}
b_{n}&=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\text{sin}\frac{n\pi x}{l}dt \\
&= \frac{1}{T/2}\int_{0}^{T}f(t)\text{sin}(\frac{2\pi}{T}nt)dt \\
& = \frac{2}{T}\int_{0}^{T}f(t)\text{sin}(\omega nt)dt \quad (n=1,2,3,\cdots)
\end{aligned} \tag{4.9}
\]
5. 傅里叶级数的复数形式
上一小节我们已经推导出，周期为T的周期信号的傅里叶级数为：
\[f(t)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}[a_{n}\text{cos}(\omega nt)+b_{n}\text{sin}(\omega nt)] \tag{5.1}
\]
\[ \left \{
\begin{aligned}
a_{n} &= \frac{2}{T}\int_{0}^{T}f(t)\text{cos}(\omega nt)dt \\
b_{n} &= \frac{2}{T}\int_{0}^{T}f(t)\text{sin}(\omega nt)dt
\end{aligned}
\right. \tag{5.2}
\]
欧拉公式(Euler's Formula)为:
\[ \left \{
\begin{aligned}
e^{i\theta}&=\text{cos}\theta + j\text{sin}\theta\\
e^{-i\theta}&=\text{cos}\theta - j\text{sin}\theta\\
\end{aligned}
\right.
\]
据此可以得到：
\[ \left \{
\begin{aligned}
\text{cos}(\omega nt)&=\frac{1}{2}(e^{j\omega nt}+e^{-j\omega nt}) \\
\text{sin}(\omega nt)&=\frac{1}{2j}(e^{j\omega nt}-e^{-j\omega nt}) \\
\end{aligned}
\right. \tag{5.3}
\]
将式\((5.3)\)带入式\((5.1)\)可得
\[\begin{aligned}
f(t) &= \frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}[\frac{a_{n}}{2}(e^{j\omega nt}+e^{-j\omega nt})+\frac{b_{n}}{2j}(e^{j\omega nt}-e^{-j\omega nt})] \\
&= \frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}[\frac{a_{n}}{2}(e^{j\omega nt}+e^{-j\omega nt})-\frac{jb_{n}}{2}(e^{j\omega nt}-e^{-j\omega nt})] \\
&= \frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}[\frac{a_{n}-jb_{n}}{2}e^{j\omega nt}+\frac{a_{n}+jb_{n}}{2}e^{-j\omega nt}]
\end{aligned} \tag{5.4}
\]
令：
\[F(n\omega)=\frac{1}{2}(a_{n}-jb_{b})\quad n = 1,2,\cdots \tag{5.5}
\]
观察式\((5.2)\)可以发现，\(a_{n},b_{n}\)分别是关于\(n\)的偶函数和奇函数。将这个关系带入到式\((5.5)\)可以得到
\[F(-n\omega)=\frac{1}{2}(a_{n}+jb_{b})\quad n = 1,2,\cdots \tag{5.6}
\]
将式\((5.5),(5.6)\)带入到式\((5.4)\)可以得到：
\[\begin{aligned}
f(t) &= \frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}[F(n\omega)e^{jn\omega t}+F(-n\omega)e^{-jn\omega t}] \\
&= \sum_{n=0}^{0}\frac{a_{0}}{2}e^{jn\omega t} + \sum_{n=1}^{\infty}F(n\omega)e^{jn\omega t}+\sum_{n=1}^{\infty}F(-n\omega)e^{-jn\omega t} \\
&= \sum_{n=0}^{0}\frac{a_{0}}{2}e^{jn\omega t} + \sum_{n=1}^{\infty}F(n\omega)e^{jn\omega t}+\sum_{-\infty}^{-1}F(-(-n)\omega)e^{-j(-n)\omega t} \\
&= \sum_{n=0}^{0}\frac{a_{0}}{2}e^{jn\omega t} + \sum_{n=1}^{\infty}F(n\omega)e^{jn\omega t}+\sum_{-\infty}^{-1}F(n\omega)e^{jn\omega t} \\
&= \sum_{-\infty}^{\infty}F(n\omega)e^{jn\omega t}
\end{aligned}
\]
上式中我们做了\(F(0\omega)=F(0)=\frac{a_{0}}{2}\)的代换。故此，我们得到了函数\(f(t)\)的指数形式的傅里叶级数为：
\[f(t)=\sum_{-\infty}^{\infty}F(n\omega)e^{jn\omega t} \tag{5.7}
\]
而其中的\(F(n\omega)\)为：
\[\begin{aligned}
F(n\omega)&= \frac{1}{2}(a_{n}-jb_{n}) \\
&=\frac{1}{2}[\frac{2}{T}\int_{0}^{T}f(t)\text{cos}n\omega tdt-j\frac{2}{T}\int_{0}^{T}f(t)\text{sin}n\omega tdt] \\
&= \frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(t)[\text{cos}n\omega t-j\text{sin}n\omega t]dt \\
&= \frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(t)e^{-jn\omega t}dt
\end{aligned} \tag{5.8}
\]
公式(5.8)的推导是基于\(n=1,2,3,\cdots\)，另外当\(n=-1,-2,-3,\cdots\)由函数关于\(n\)的对成性上式也成立，最后就是当\(n=0\)时，带入上式，可以发现其结果兼容式\((5.5)\)，因此也符合。综上所示对于一个周期为T的周期函数，其指数形式的傅里叶级数为：
\[f(t)=\sum_{-\infty}^{\infty}F(n\omega)e^{jn\omega t}
\]
\[F(n\omega)=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(t)e^{-jn\omega t}dt
\]
频谱：上式中\(F(n\omega)\)关于\(\omega\)的变化就是函数\(f(t)\)的频谱，每个n代表一条谱线。
6. 傅里叶变换推导
上一小节我们已经推导出周期为T的函数\(f(t)\)的复数形式的傅里叶级数为：
\[f(t)=\sum_{-\infty}^{\infty}F(n\omega_{0})e^{jn\omega_{0} t} \tag{6.1}
\]
\[F(n\omega_{0})=\frac{1}{T}\int_{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-jn\omega_{0} t}dt \tag{6.2}
\]
注：式\((6.2)\)与式\((5.8)\)只是积分区间的不同，并不影响结果（见前面傅里叶级数的推导过程）。
上面讨论的都是周期函数，那么对于非周期函数，傅里叶级数又有什么变化呢？
对于非周期函数，其重复周期\(T\rightarrow\infty\),两条谱线之间的距离\(\Delta\omega=(n+1)\omega_{0}-n\omega_{0}=\omega_{0}=\frac{2\pi}{T}\rightarrow0\)，此时两条谱线之间的距离趋近于0，也就是说频谱从原来的离散变成了连续。
我们将式\((6.2)\)带入式\((6.1)\)并带入如下关系：
\[T\rightarrow\infty
\]
\[\int_{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}}dt\rightarrow\int_{-\infty}^{+\infty}dt
\]
\[\frac{1}{T}=\frac{\omega_{0}}{2\pi}=\frac{\Delta\omega}{2\pi}\rightarrow 0
\]
\[n\omega_{0}\rightarrow\omega
\]
可以得到：
\[\begin{aligned}
f(t)&=\sum_{-\infty}^{\infty}[\frac{1}{T}\int_{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-jn\omega_{0} t}dt] \\
&=\sum_{-\infty}^{\infty}[\frac{\Delta\omega}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-j\omega t}dt] \\
&=\sum_{-\infty}^{\infty}\Delta\omega[\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-j\omega t}dt] \\
&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}d\omega[\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-j\omega t}dt] \\
&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}[\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-j\omega t}dt]d\omega \\
\end{aligned}
\]
令：
\[F(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-j\omega t}dt \tag{6.3}
\]
那么：
\[f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)d\omega \tag{6.4}
\]
至此我们得到了傅里叶的正反变换分别为式\((6.3),(6.4)\)。
参考资料
[1]. 同济大学，《高等数学》，第五版
[2]. 郑丽君，《信号与系统》，第二版
[3]. DR_CAN，傅里叶级数与傅里叶变换推导
