域的理解

（前言）
很早以前就想将自己所想，所理解的写下来，算是一种笔记，也算一种对自身的检讨。在下乃工科出身，对数学很感兴趣，但是数学知识有限，而有些理解，也不一定正确，还望各位指教。

写这一篇文章，源于看了近世代数，而且在我的学科工作领域里面用到了其中的东西。我想对于数学的认识，和对其他事物的认识也是一样的，首先是感性的，再是理性的（当然，可能没有比数学更需要理性的学科了），最后还要回归于感性。

本文只是在下一些拙见，可能不正确，不专业，甚至可能山寨，望轻拍。如果你认为你是一个高手，不需要接收“山寨”思想，那么这篇文章你可以不看了。


（一）来源
前面说到了，本文的来源在于以前在下用到过近世代数中群环域的内容，先简要在这里说一下。在下学通信电子类的，会用到纠错编码，诸如RS码，ECC码之类的。

首 先，我们将信息从A地传到B地，中间可能会出错，那我们就要想办法解决出错这个问题。最简单的，我们可以把相同的内容x，重复的发送两遍。传一次可能出 错，传两次的出错概率总比一次小。但是传两次不保险，假如两次不一样，那谁是对的呢。于是，我们传三次吧，两次以上相同的接收内容rx，我们就认为是收对 了。

但是这样做的坏处就是增加了太多的冗余。于是，可以用下面这种方法解决。我们把要发送的内容x，属于集合X，加上一定的冗余信息c， 也属于集合X，使得f(x,c)=0。其中，f是一个函数，是我们人为构造出来的。这样在接收端，也应该有f(rx,rc)=0。rc表示接收到的冗余信 息。如果f(rx,rc)!=0，那么肯定传输出错了。那么，我们可以根据f=0，倒推出哪些地方出错了，倒推出正确值是什么。

通常，我 们可以把x表示成矩阵的形式，且x的元素都是整数，甚至正整数。而我们传输的信息数据x，都是属于某一个有限的范围X。那么我们加上c之后，要找到一个函 数关系f，使得f(x,c)=0，由于整数的加法和乘法，可能使得计算的结果超出范围X，那这样是不可接受的，在接收端不可能在一个无限大的范围之内找出 原有的真实的信息。于是，工程师们找到数学家，发现有现成的东西可以用。感谢伟大的加洛华！如果我们把X集合映射到Y集合上面，x映射成y，c映射成为 cy，把整数的加法和乘法也做一个映射，这样f就映射成为g，即有g(y,cy)=0，而g里面的运算会是封闭的，会较为简单。而且，最重要的，在接收 端，可以在一个封闭的区间范围之内找寻计算g(ry,rcy)=0真实的数值。当得到ry之后，再做一个Y->X的映射，恢复出现实生活中，整数范 围的x。


（二）域
前面提到的X映射到Y，其实就是在找一个合适的新的空间，让我们方便做我们在原有的空间内不方便做的事 情（这里先暂时叫做空间）。比如，直角坐标里面去描述一个圆，可能不如极坐标来得方便。这个坐标，其实也是一种映射。然而，并不是所有的空间都是方便的。 空间必须满足一定得性质条件，才可以完成前面提到的那样伟大的使命。这个东西就叫做域。

域，领域，这个词可以在不同的地方中听到。比如， 我们说贝肯鲍尔是足球领域的皇帝，迈克尔杰克逊是流行音乐领域的皇帝……但是是不是无论什么都以被叫做领域呢？显然不是，比如，我们就没有听说过称某某是 听音乐这个领域的皇帝。听音乐不会被称作一个领域，被称作一个领域的是音乐！那么显然，要成为领域是需要一定条件的。

在数学中，已经给出了很明确的域的概念，需要满足若干个条件的集合才能被叫做域。
OK！ 那么在到现实生活中，音乐，足球分别被叫做一个领域，那么他们都是满足了相同的条件。这里不是要去讨论在现实生活中领域的定义，只是要说明，领域是有一个 门槛的。同时，领域之间是相似的，比如前面提到的，贝肯鲍尔是足球领域的皇帝，迈克尔杰克逊是流行音乐领域的皇帝。两个人都被称作各自领域内的“皇帝”， 就如同域里面定义的，集合里面都有一个0元素一样。两个不同的域的0元素是一一映射的。同样，在现实生活中的不同领域，我们也找到了“皇帝”的映射。

再 者，举另外两个例子，足球和篮球。二者都被称为一个领域，那么他们有什么类似的地方呢——他们都是球类运动，都是分成两拨人比赛，以把球送进对方的篮筐或 者球门为目的。好了，这里足球和篮球这两个球本身就是一个映射，篮筐和球门也是一个映射。足球场和篮球场上面的人也是一个映射。甚至足球的进攻套路，诸如 下底传中，中路渗透等等，可以与篮球的三角进攻，挡拆投篮等等进攻方式进行一个映射。就如同人是集合里面的元素，进攻套路是联系这些人之间的运算！而只有 具备了一定的封闭的元素，而其元素之间有一定得运算的集合，才会被叫做域，才会被叫做领域！


（三）空洞的概念
我想，很多 人和我一样，最开始看到近世代数的时候，最头疼的是那些概念。数学家们为我们构造了域这个概念，将前面所有的分析上升到了理性认识的高度——群环域是怎样 怎样定义的，他们有怎样怎样的性质。但除了现实生活中，比如实数域很好理解以外，那些构造出来的域，只能说离我们生活太遥远，或者在生活中找不到相应的例 子，很难被准确的把握。

如果一个东西要很好的被理解，必须要能找到很直观的例子，这就回到了感性认识。我们需要把空洞的抽象的概念，现实 化！试想，如果我们生活的地点不是这样一个无限的空间之内，而是一个类似于球的封闭的空间，那么我们理解有限域是不是就很好理解了。或者换一个说法，我们 现在生活的欧氏空间，三角形的内角和是180度，我们非常好理解和把握。而要我们理解把握非欧氏空间的东西，要理解三角形内角和大于或者小于180度，就 有困难。试想，如果我们本身就生活在一个球，或者一个双曲面上，一个球或者一个双曲面才被叫做平面，那我们理解三角形内角和大于或者小于180度就很容 易，反而理解三角形内角和等于180度很困难。

于是，我们最好要找到一个合适的“空间”去理解那些看起来空洞的概念。


（四）抽象变得一般
记得以前看过一个叫做孟岩的人写的关于矩阵的理解。我想，我的思维方法大概也和他差不多，就是要为空洞抽象的概念，找到一个一般的解释。（虽然有些人可能对孟岩不削一顾，但我这里仅仅是提供一种思维的方法，至于其优劣性，由各位去评判）。

回 到前面提到的纠错码上面。孟岩认为矩阵的运算就是一种运动！OK！这里我借鉴这种说法。那么在整数这个范围之内，矩阵的运算（乘法和加法）结果势必也在整 数这个范围之内。就相当于，整数是一个范围，矩阵通过运算在这里面跑呀跑，从一个地方跑到另外一个地方，但是始终都在这个范围之内。这个范围被称作环。

然而，这个范围实在是太大了，用到通信上面实在不好，通信的符号总是有限的。于是出现了有限域。有限域上面也有乘法和加法运算，于是有限域上的矩阵，就像有限域空间上的点，从一个地方跑到另一个地方，但是始终都在这个有限域空间范围之内！

在这里我们可以看到，本质的东西是这些运算，这些“跑”的方法，运算保证了封闭性。很多时候都是在寻找一些运算，满足这样的封闭性。

再来看映射，映射的不仅仅是元素，还有元素之间的运算。就像两个空间里面有很多点，他们在不停的“跑”，但是只有他们“跑”的方式能够有映射的关系之后，两个空间才能被成功的联系起来，才是我们希望看到的结果。

回到“跑”的方法上面，在某些空间中，“跑”可以是走路，可以是坐车，有些空间仅仅能是走路，有些仅仅只能是坐车，而有些二者皆可。这样就把空间区分开了，显然只能走路的比较“低级”，是一类的，二者皆可的比较“高级”，是另外一类的。这就是对于群环域的另一种理解。


（五）同构
我想上面所有的理解，都建立在一个同构的思想上面。把数学上的域与现实生活中的“领域”同构起来。

同构是一种很重要的理解问题的思想方法。比如我们在学蛙泳的时候，游泳老师教我们，说腿要像青蛙那样打，于是我们想青蛙的腿是怎么打的，对于我们理解蛙泳这种姿势就很有帮助，这就是一种同构。


（六）思维的路径
最 后，我想说的是，老师经常说，我们需要把一本书读厚，然后再把这本书读薄。这同我们思维的方法，思维的路径是一样的。我们认识一个事物，从一个微小的点开 始，不断的扩大，与已知的事物联系，推出大把大把的定理公式，大到一定的程度之后，需要归纳总结，发现原来几个有限的定义就可以将整个领域概括下来。就像 欧几里得，只用了有限的几个公设就概括了整个欧式几何。这个时候我们又回到了原点。思维的路径就是这样从无到有，从小到大，最后又从大到小，从小到无的。 最后大抵就是无招胜有招的境界吧，呵呵。


（后记）
以上的东西，都是鄙人一些很简陋的思维，可能不严密，望各位指正。或者你有更高明的理解方式，不妨发给我。