浅谈韦达定理的“来龙去脉”
浅谈韦达定理的“来龙去脉”(Beta)
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摘要：韦达定理是中学数学中最为重要的定理之一.本文首先简单介绍了韦达定理的“来龙去脉”，然后结合一些实例说明韦达定理在平面几何、三角学、不等式等方面的巧妙应用.
关键词：韦达定理；推广应用
1韦达简介
韦达（Viete，Francois，seigneurdeLa Bigotiere）是法国十六世纪最有影响的数学家之一.第一个引进系统的代数符号，并对方程论做了改进.
韦达1540年生于法国的普瓦图.1603年12月13日卒于巴黎.年青时学习法律当过律师，后从事政治活动，当过议会的议员，在对西班牙的战争中曾为政府破译敌军的密码.韦达还致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步.韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”）.
2 韦达定理及其证明简述
2.1 定理
一元二次方程 ，设两个根为 和 ，则 .
证明：依题意， ，
对应系数，得到 .另外也可以利用求根公式证明.
2.2 韦达定理的逆定理
设关于x的一元二次方程 ，且α、β满足 ，则α、β必定是一元二次方程ax2 + bx + c = 0的两个根.
2.3 韦达定理的推广
对一个给定的n次多项式 ，设n个根为
，则
，
，
，
…………
.
证明：由代数基本定理， 在复数域上可以分解为一次因式的连乘积 .把它展开并比较各项系数，即可以得到n次方程的根与系数的关系.
特别说明：历史是有趣的，韦达在16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年由高斯作出第一个实质性的论证.
3 韦达定理的应用
3.1 在平面几何中的应用
例1 (蝴蝶定理) 过圆O 的AB 弦的中点M引任意两弦CD 和EF ,连CF和ED交弦AB于P、Q ,求证: PM = MQ.
分析:蝴蝶定理是平面几何中一个重要的定理,1973 年美国中学教师斯特温利用正弦定理和相交弦定理给出证明,此处从略. 下面我们利用韦达定理使该题化难为易,变繁为简,使得解题过程显得灵活而新颖,简捷而巧妙.
证明:如下图,以M 为原点,AB 为x 轴建立坐标系,则已知条件可以坐标化. 圆的方程为:
①，直线CD、EF 的方程分别为: 、 ，这可合并写为 ②
(其中k1 、k2 分别为直线CD、EF 的斜率) 于是过①、②交点C、F、D、E的二次曲线系为: ③,曲线③与AB 的交点P、Q 的横坐标满足 ,由韦达定理知: ，这说明原点M 是P、Q 的中点,从而PM = MQ ,即命题成立.
3.2 在三角函数中的应用
例2 在△ABC中,若lgtanA + lgtan C =2lgtanB ,求∠B 的取值范围.
分析: ∵A 、B 、C 是三角形的三内角, 且tanA 、tanB 、tan C 都是正数, 故A 、B 、C 均为锐角,即B <π/2. 由已知条件易知, . 又考虑到在△ABC 中恒有tanA + tanB+ tan C = tanA ·tanB ·tan C ,由此构造一元二次方程,求出∠B 的取值范围.
解: 由已知得 ,再结合公式tanA + tanB + tan C = tanA ·tanB ·tan C，
得: ，则tanA 、tan C 是方程 的两实根.∴ .∵tanB > 0 , ∴ .
∴ (舍) .∴ , ∴B ∈[π/3 、π/2) .
3.3 在不等式中的应用
例3 已知x , y , z 均为实数, a > 0 ,且满足 ，求x 、y 、z 的取值范围.
分析：要求x 、y 、z 的取值范围,就要设法建立关于x 、y 、z 的不等式. 注意到x 、y 、z 的对称性,我们先设法建立关于x 的不等式,借助韦达定理,以y 、z 为根构造一个一元二次方程,该方程有实根,从而判别式Δ ≥0 ,得出所求的取值范围.
解：由 , 得： （3）
.由（1）、（3）知y 、z 是关于t 的方程 的两个实根,∴ ,解得 ，同理可得: , .
3.4 在数学竞赛中的应用
例4 设a、b、c为互不相等的实数,且 .求a的取值情况.(2006年全国中学生数学竞赛题) .
分析:从题中暗示的条件: ①只求a ,可能将bc消掉;② ,此时应用我们已学过的知识“韦达定理”.
解: ∵ ，∴ .
即 ，则b + c = ±2 ( a + 1).
设b、c是关于z的方程的两个根,则：
.
∵a、b、c均为实数，∴
24 a + 24≥0得a ≥ - 1.
参考文献：
[1] 王体东. 韦达定理的妙用.
[2] 罗邦华. 韦达定理在数学竞赛中的应用 [J]. CZSFD数学，2006，(11).
