[51mod 1201]整数划分 dp

题目

将N分为若干个不同整数的和，问有多少种不同的划分方式，例如：n = 6，{6} {1,5} {2,4} {1,2,3}，共4种。由于数据较大，输出Mod 10^9 + 7的结果即可。

 

很容易想到01背包，由于要求每个整数都不同，故每个整数就可以看作物品

f[i][j]表示在1~i的整数中选择若干个，和为j的方案数

f[i][j]=f[i-1][j]+f[i-1][j-i]（取/不取i）

然而n<=50000,无法解决

 

至此就束手无策了，看了题解之后不得不感叹这个神奇的状态转移方式

首先需要想到的是:和为n的整数个数，最多也只能为sqrt(n*2);（证法先留个坑） 

f[i][j]表示用了i个数字，和为j的方案数

则将转移情况分为两种：

1）取i，f[i][j]=f[i-1][j-i];

2）不取i，将f[i][j-i]每个数都加1

f[i][j]=f[i-1][j-i]+f[i][j-i]

还有一个类似的状态转移poj1664

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;

const int M=1e9+7;
const int Maxn=50000;
int n;
int f[320][Maxn];
int main(){
    scanf("%d",&n);
    memset(f,0,sizeof(f));
    f[0][0]=1;
    int ULine=int(sqrt(2*n));
    for (int i=1;i<=ULine+1;i++){
        for (int j=i;j<=n;j++){
            f[i][j]=(f[i-1][j-i]+f[i][j-i])%M; 
        }
    }
    int ans=0;
    for (int i=1;i<=ULine;i++)
      ans=(ans+f[i][n])%M;
    printf("%d",ans);
    return 0;
}