随笔分类 - 数学—莫比乌斯反演
摘要：Description 求 \(\sum_{i=1}^A\sum_{j=1}^B\sum_{k=1}^Cd(ijk)\)。 \(A,B,C\le10^5\) Sol 直接莫反，枚举 \(i,j,k\) 的所有约数来得到 d(ijk) 的值： \[ \sum_{i=1}^A\sum_{j=1}^B\s
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摘要：Description \(T\) 组询问，每组询问给出 \(n,m\) ，求 \(\prod_{i=1}^n\prod_{j=1}^m f_{\gcd(i,j)}\)，其中 \(f\) 为斐波那契数列。 \(T\le10^3,n,m\le10^6\) Sol 我们先枚举 \(\gcd(i,j)\)
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摘要：Description 给一个数列，每次随机选一个 $1$ 到 \(m\) 之间的数加在数列末尾，数列中所有数的 \(\gcd=1\) 时停止，求期望长度。 \(m\le10^5\) Sol 设 \(E(x)\) 表示选择 \([1,x]\) 内的数，\(P(x)\) 事件 \(x\) 的概率，那么
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摘要：题意 求$$\prod_{i=1}^n\prod_{j=1}^n\frac{lcm(i,j)}{\gcd(i,j)}$$ $n\le10^6$ Sol 先把$lcm$化成$\gcd$ $$\prod_{i=1}^n\prod_{j=1}^n\frac{lcm(i,j)}{\gcd(i,j)}$$ $
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摘要：题意 求$$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n(i+j)^k\gcd(i,j)\mu^2(\gcd(i,j))$$$n\le 10^6$ Sol 还是按照套路推式子$$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n(i+j)^k\gcd(i,j)\mu^2(\gcd(i,j))$$枚
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摘要：题意 求$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nij\gcd(i,j)$的值 $n\le 10^{10}$ Sol 还是按照套路反演 $$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nij\gcd(i,j)$$ $$=\sum_{d=1}^nd^3\sum_{i=1}^{\lfloor\
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摘要：题意 求$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m[\sigma_1(\gcd(i,j))\le a]\sigma_1(\gcd(i,j))$ Sol 先忽略$a$的限制，按照套路反演 $$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\sigma_1(\gcd(i,j))$$ 枚举$\g
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摘要：注意：此处均默认$n<m$ 1.$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m [\gcd(i,j)=1]$ 由$\mu$的定义式可知$\sum_{d|n}\mu(d)=[n=1]$ 将$n$替换为$\gcd(i,j)$，得 $[\gcd(i,j)=1] = \sum_{d|\gcd(i,j)}
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