ACM 博弈（难）题练习 (第一弹)
第二弹：
套路&&经验总结：
1. N堆***的游戏，一般可以打表找SG函数的规律。比如CodeForces 603C
2.看起来是单轮的游戏，实际上可能拆分成一些独立的子游戏。比如CodeForces 317D
3.考虑最终如果某方胜利，最后的局面会是怎样。 比如CodeForces 594A
4.大力分类讨论，不要怕麻烦，在纸上写清楚。 比如 CodeForces 455B
题目大意：
A和B各有一个大小为N的可重复字符集合，然后两个人轮流，每次取出从自己的集合里取出一个字符，填到一个长度为N的字符数组里，A希望最后形成的字符串字典序最小,B希望字典序最大。问最后结果是怎样。
题解：
显然A会用到自己最小的ceil(N/2)个字符，B会用到自己最大的floor(N/2)个字符。
分4种情况讨论：
1 当前轮到A。
1.1 当前A的最小字符比B的最大字符小。显然A应该把自己的最小字符放到最前面，否则B下回合至少可以把自己的最大字符放到最前面，使得结果字典序变大。
1.2 当前A的最小字符不比B的最大字符小。 A应该想办法逼B把小的放到前面去，所以A应该把自己最大字符放到最后。
2 当前轮到B。
2.1 当前A的最小字符比B的最大字符小。显然B应该把自己的最大字符放到最前面。
2.2 当前A的最小字符不比B的最大字符小。 B应该想办法逼A把大的放到前面去，所以B应该把自己最小字符放到最后。
题目大意：
两个人在n个点的环上玩游戏，环上有一个棋子。每个人有一个数集，每回合每个人可以从自己的集合里选出一个数x, 让棋子顺时针走x步。把棋子走到1号点的人赢。
一开始不知道棋子在哪，因此要你对每个位置i，输出如果一开始棋子在i号点，结果是先手赢还是后手赢还是平局。 所有数据<=7000.
题解：
倒推回去，一共2n个状态，把已经确定的状态丢到队列里， 如果一个点存在一个后继状态是必败的，那么他是必胜的，否则必败。有点类似拓扑排序，记录每个点的后继状态有多少个已经确定了，根据已经确定的状态倒推回去即可。 没有被计算到的状态就是平局。
题目大意：
Nim游戏改编，加了一个限制，同一堆石头，不能拿多次相同数量的石头。 比如之前拿过一次2个石头，之后就不能再拿2个石头。 ai<=60
题解：
sg[s][mask]表示s个石头，mask存之前已经拿过哪些。用map存，爆搜出sg。 爆搜的时候有个很强力的优化，比如还剩3个石头，而mask的第2位是1，表示不能再取4了，显然把maks的第2位换成0也没有影响。 即类似(s = 3, mask = 5) 和(s = 3, mask = 1）这样的状态是等价的。 因为ai<=60, 爆搜打表就好了。
其实打完表还可以发现规律。sg[1][0] sg[2][0] sg[3][0]....sg[n][0] 这个数列是1 1 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 4 ....
题目大意：
两个人比谁的词汇量大，轮流说单词，说过的不能再说。 给你两个人各自掌握的词汇，问谁输谁赢。
题解：
显然尽可能先把两个人都知道的单词说掉。
题目大意：
N张贴纸排成一排，每张贴纸上写了一个数。两个人轮流玩，每次从最前面拿走至少2张贴纸，得分是拿的贴纸上的数之和。然后在最前面放回一张新的贴纸，贴纸上的数是该回合拿走的贴纸上的数之和。只剩下一张贴纸时游戏结束。 两个人都想自己的得分尽可能大。 N <= 1e5
题解：
显然任意局面都可以表示成 sum(1...i) a[i + 1] a[i + 2] .... a[n] 这样的形式。 dp[i]表示这样的局面先手比后手最多多得多少分，很容易列出转移方程:
dp[i] = max{ sum(1...j - 1) - dp[j]} 只和j有关，用树状数组维护一个后缀最大值即可。
题目大意：
N堆石头，每堆石头的个数不确定， 可能是0-x，然后给出每个个数的概率。 玩Nim游戏，问先手赢的概率。 N <= 1e9, x <= 100
题解：
DP + 矩阵乘法。
题目大意：
N堆石头，每次选择一堆分成非空的两堆，两人轮流操作，不能操作的输。
题解：
假设一堆石头有x个，不管怎么分，都是要分x - 1次。 把所有的x - 1求和根据奇偶就可以知道谁胜谁负。
题目大意：
N * N的方格，两个人轮流涂格子，要求任意两个涂颜色的格子不能相邻（有公共边）。
题解：
先将格子黑白染色。 显然两个人要么只在黑色格子上玩，要么只在白色格子上玩。 而先手可以决定在什么颜色的格子上玩。 分析一下就知道N为奇数先手胜，偶数后手胜。
题目大意：
给定N和K。 N堆石头，每次可以从一堆石头中拿走一个，或者 如果这堆石头有偶数个(2 * x个)，可以将其变成K堆有x个石头的堆。
题解：
根据k的奇偶来讨论。
如果是偶数，那么SG异或起来就消掉了。 如果是奇数，那么一对一对的消掉只剩下一个。
因此如果K为奇数.
SG（2x + 1） = mex{ SG(2x) }
SG（2x） = mex{SG(x), SG(2x - 1)}
如果K为偶数
SG（2x + 1） = mex{ SG(2x) }
SG（2x） = mex{0, SG(2x - 1)}
打个表就可以发现神奇的规律。 并且这个规律很容易用数学归纳法证明。
大致是K为奇数的时候。
前面5特殊判断， x > 5的时候 x为奇数sg=0， x为偶数 sg[x] sg[2x] sg[4x] sg[8x] 是 1 2 1 2交替。
K为偶数的时候：
0 1 2 0 1 0 1 0 1 0 1.... 从第3项开始01交替。
题目大意：
两个人各有一个棋子在棋盘上玩， 先手每次可以向左或者向下走一步，后手可以向左或向下或左下走一步。谁先走到(0, 0)谁就赢，不能走到坐标为负的点，也不能走到别人的棋子上。
题解：
设先手棋子为A，后手为B。
若B在A的右上方(包括正上方和正右边)，容易知道A必胜，因为A总可以使自己在B的左下方。
同理若B在A的左下方，B必胜。
剩下两种对称的情况。
若B在A的右下方，A应该尽可能先往下走，B尽可能往左下走，模拟这个过程直到变成上面两种情况。
若B在A的左上方同理。
题目大意：
两个人玩游戏，有N个数，每次去掉一个数，剩下K个数，先手想让剩下的K个数之和是奇数，后手想要偶数。
题解：
假设还剩下K + 1个数，这里面有奇数也有偶数，那么最后选的人肯定赢。
也就是说，如果最后一次选择轮到A，B肯定要在之前要么把奇数全拿完，要么把偶数选拿完，否则肯定输。
然后就分类讨论判断就好了。
题目大意：
给出一个正整数集合，两个人轮流玩，每次可以选两个数x, y, 要求|x - y|不在集合里，然后把|x - y|加入集合。 不能操作者输。
题解：
首先可以通过一通操作搞出所有数的gcd = d(辗转相减)，游戏结束时的集合是确定的，一定是d, 2d, 3d....k*v k*v是一开始集合元素的最大值。所以就知道一共玩了多少轮，根据奇偶判断必胜。
题目大意：
两个人在Trie树上博弈，从根开始，每次往下移动一个位置，不能移动的输。 重复该游戏k轮，上一轮输的人下一轮变为先手。 第k轮赢的人 真正赢得游戏。
题解：
一开始以为就是一个傻逼SG，然后WA到死。
因为要重复k次游戏，所以当前这一轮，有时候明明可以获胜，但是故意落败也许才是正确的选择，但有时候你想输掉这轮游戏对方偏偏会让你赢。
考虑做2次SG，分别一轮游戏是先手能否必胜，能否必败。
如果先手可以必胜，先手也可以必败，显然他能掌控局面取得胜利，只要前面k-1轮故意输掉，最后一轮赢回来。
如果后手可以必胜，那么后手只要一直赢就好了，显然后手胜利。
剩下最后一种情况：先手可以必胜，后手可以必败。
倒过来考虑，假设我想要在第k轮赢，那么第k轮我必须是先手，也就是说第k-1轮我必须输。 而后手可以必败，所以第k-1轮我必须是后手，第k-2轮我必须赢。
所以我期望的应该是从第k轮倒过来 赢输赢输交替。 因此k为奇数先手胜，否则后手胜。
题目大意：
数轴上有N个点,N为偶数。 两个人轮流删点，直到剩下最后2个点。 先手想要最后剩下的两个点距离尽可能近，后手想要尽可能远。 求最后的距离。
题解：
假设最后剩下两个点分别是第L个点和第R个点。 两个人都有N / 2 - 1次机会。
先手知道这件事。如果R - L > N / 2，不管后手怎么取，先手完全可以把[1, L - 1], [R + 1, N]这些点取完(如果后手帮着取，那更好了)，使得最后剩下的石头i,j [i, j] 包含于[L, R]，距离显然更小。 矛盾。 也就是说先手总能使得R - L <= N / 2, 且先手可以实现选定一个[L, L + N / 2]，只要不断取区间外的点，一定能使的最后的两个点落在这个区间内。也就是说最后的距离一定小于等于min{Xi + N / 2 - Xi}
而后手每次至少可以选最中间的点删掉，使得最后剩下的两点R - L = N / 2。 这样距离>=min{Xi + N / 2 - Xi}.
所以最后答案就是min{Xi + N / 2 - Xi}。
题意：
两个人取数，一开始有1-n，每次如果取了x，那么x, x2, x3, x4....都不能取了。 n <= 1e9.
题解：
考虑将数分类。那些有幂次关系的分到同一类， 不同类之间的博弈是独立的，可以看做一个子游戏。 每一类最多有29个数， 对于每个子游戏x, x2, x3....xk，只和个数k有关。状压DP一下求出sg值，k最大是29，可以用map来存。
暴力打表后得到的sg值如下：
sg[30] = {0, 1, 2, 1, 4, 3, 2, 1, 5, 6, 2, 1, 8, 7, 5, 9, 8, 7, 3, 4, 7, 4, 2, 1, 10, 9, 3, 6, 11, 12};
所以只要将这n个数分类即可，考虑如果一个类至少有2个数，其中最小的那个一定<=sqrt(n), 枚举即可。 剩下的类都是只有一个数的。
