背包问题
背包问题
来源
完全基于中山纪念中学 宋新波ppt的一次复习
动态规划的关键点
- 最优化原理
子问题最优化结构
- 无后效性
未来与过去无关
- 状态
描述最优解的结构
- 状态转移方程
递归定义最优解的值
- 程序实现
用记忆化搜索或迭代法求解
No.1：01背包
问题
有N种物品和一个容量为V的背包。
第i种物品只有1个，体积是v[i]，价值是w[i]。
选择物品装入背包使这些物品的体积总和不超过背包容量，且价值总和最大，求出这个最大价值。
分析
- 状态
\(f[i,j]\)表示用体积为j的背包装前i个物品能获得的最大价值。考虑第i种物品装或不装进行状态转移:
- 装
\(f[i-1,j-v[i]]+w[i]\)(必须满足\(j>=v[i]\))
- 不装
\(f[i-1,j]\)
- 两种情况取较大值。
- 状态转移方程为：
\[f[i,j]=\left\{
\begin{array}{rcl}
0 & &{i=0(边界条件)}\\
f[i-1,j] & &{j<v[i]}\\
max(f[i-1,j],f[i-1,j-v[i]]+w[i])& &{j>=v[i]}\\
\end{array}
\right.
\]
- 答案为\(f[n,v]\)，时间复杂度为\(O(N*V)\)。
code
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int Max=1e4+10;
int w[Max],v[Max];
int f[Max][Max]={0};
int main()
{
int n,m;
cin>>n>>m;
for(int i=1; i<=n; i++) cin>>v[i];
for(int i=1; i<=n; i++) cin>>w[i];
for(int i=1; i<=n; i++)
for(int j=0; j<=m; j++)
if(j<v[i]) f[i][j]=f[i-1][j];
else f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]);
cout<<f[n][m]<<endl;
return 0;
}
No.2：完全背包
问题
有N种物品和一个容量为V的背包。
第i种物品有无穷个，体积是v[i]，价值是w[i]。
选择物品装入背包使这些物品的体积总和不超过背包容量，且价值总和最大，求出这个最大价值。
分析
方法一
- 状态：
\(f[i,j]\)表示用体积为j的背包装前i个物品能获得的最大价值。
考虑第\(i\)个物品装几个来进行状态转移，假设装\(x\)个，\(x\)的范围为\(0<=x<=j / v[i]\)
- 状态转移方程：
\[f[i,j]=\left\{
\begin{array}{rcl}
0 & &{i=0(边界条件)}\\
max{f[i-1,j-x*v[i]]+x*w[i]}& &{0<=x<=j / v[i]}\\
\end{array}
\right.
\]
- 答案为\(f[n,v]\),时间复杂度为\(O(V^2*\displaystyle \sum^N_{i=1}{\frac1{v[i]}})\)
code
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int Max=1e4+10;
int w[Max],v[Max];
int f[Max][Max]={0};
int main()
{
int n,m;
cin>>n>>m;
for(int i=1; i<=n; i++) cin>>v[i];
for(int i=1; i<=n; i++) cin>>w[i];
for(int i=1; i<=n; i++)
for(int j=0; j<=m; j++)
for(int x=0; x<=j/v[i]; x++)
f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-x*v[i]]+x*w[i]);
cout<<f[n][m]<<endl;
return 0;
}
方法二
- 状态
\(f[i,j]\)表示用体积为j的背包装前\(i\)个物品能获得的最大价值。
- 考虑第\(i\)个物品装或不装来进行状态转移：
- 装:
必须满足\(j>=v[i]\)，由于物品有无穷多个，装一次后后面还可以再装，所以状态为\(f[i,j-v[i]]+w[i]\);
- 不装：
\(f[i-1,j]\)
- 状态转移方程：
\[f[i,j]=\left\{
\begin{array}{rcl}
0 & &{i=0(边界条件)}\\
f[i-1,j] & &{j<v[i]}\\
max(f[i-1,j],f[i,j-v[i]]+w[i]) & &{j>=v[i]}\\
\end{array}
\right.
\]
- 答案为\(f[n,v]\)，时间复杂度为\(O(N*V)\)。
code
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int Max=1e4+10;
int w[Max],v[Max];
int f[Max][Max]={0};
int main()
{
int n,m;
cin>>n>>m;
for(int i=1; i<=n; i++) cin>>v[i];
for(int i=1; i<=n; i++) cin>>w[i];
for(int i=1; i<=n; i++)
for(int j=0; j<=m; j++)
if(j<v[i]) f[i][j]=f[i-1][j];
else f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-v[i]]+w[i]);
cout<<f[n][m]<<endl;
return 0;
}
