二分答案和三分入门


首先......我是一个很菜很菜的萌新,所以这篇文章写得很详细,有很多我自己的口水话方便我理解,请各位谨慎食用qwq
以前在网上找过很多介绍二分的博客,但都感觉对萌新不太友好,反正我当时连跳石头都没看懂,所以决定自己写一篇!其中有我的想法,也借鉴了书里的很多内容,感谢lyd。

二分答案,顾名思义,就是对我们所需要的答案进行二分,对我们要求的值进行二分。
二分的基础用法是在单调序列或者单调函数当中查找,当答案具有单调性,我们就可以采用二分来计算,当然还有三分,在后面我会详细讲到

整数集合上的二分

在单调递增序列a中查找>=x的数当中最小的一个

while(l<r)
{
int mid=(l+r)>>1;
if(a[mid]>=x) r=mid; //普适模板:if(check()) r=mid;else l=mid+1;,下同。 
else l=mid+1;
}
return a[l];

 

在单调递增序列a中查找<=x的数当中最大的一个

while(l<r)
{
int mid=(l+r+1)>>1;
if(a[mid]<=x) l=mid;
else r=mid-1;    
} 
return a[l];

 

根据以上两种代码形式 可以总结出二分的两种常用形式
1.r=mid,l=mid+1,取中间值的时候,mid=(l+r)>>1;
2.l=mid,r=mid-1,取中间值的时候,mid=(l+r+1)>>1;

注意
1.如果不对mid的取法进行区分,可能会造成出错的情况,在平时的练习当中,希望大家能注意选择,我不再赘述,《进阶指南》里面讲得很详细啦。
2.在二分当中,我们采用的是右移运算而不是除法,是因为右移运算是向下取整的,但除法向0取整。

终止条件:l==r 也就是答案所在的位置啦

实数域上的二分

实数域会方便很多,具体两种方法。

1.给出精度eps 以l+eps<r为条件

while(l+eps<r)
{
//自己写啦!
}

2.暴力循环100次 完全不用担心不够 2^100已经超过了int类型~
for(int i=0;i<100;i++)
{
//自己写.jpg
}

关于二分的知识点大概就是上面这些,但是大家在写代码的时候一定要注意各种边界条件,比如说l和r之间可不可以取等号,又或者mid是+1,-1还是不加不减。
我个人感觉二分当中的坑点很多,反正我经常因为各种乱七八糟的边界条件debug老半天,肯定是编译器的锅!可能我还是比较菜对题目/模板的理解不够深......

下面给出两道练习题
洛谷P1873砍树 题解(附带原OJ链接)

洛谷P2678跳石头(NOIP2015) 题解(附带原OJ链接)

关于三分

三分,顾名思义就是分成三份,它主要用于求单峰函数的极值。
单峰函数,就是一个有极大值或者极小值的函数。
如果有极大值,那么极大值的左边是单调递增,右边单调递减;
如果有极小值,那么极小值的左边是单调递减,右边是单调递增。
其实我脑袋里面已经自动脑补了一个二次函数了......
(但两者不能划等号哦!二次函数是单峰函数,但单峰函数中仅仅是包含了二次函数)

关于单峰函数求极值的分析

以一个有极大值的单峰函数为例(如图所示)
若此函数有纵坐标y1<y2,那么它横坐标的情况就是两种
1.x1和x2都在极大值的左边,并且x1<x2
2.x1在极大值的左边,x2在极大值的右边
通过分析,我们可以发现,x1总在极大值的左边。
若此函数有纵坐标y1>y2,那么它横坐标的情况也是两种。
1.x1和x2都在极大值的右边,并且x1<x2(感谢我の学长兼男神cjrhahahahaha指正此处 应为x1<x2 ovo)
2.x1在极大值的左边,x2在极大值的右边
通过分析,我们可以发现,x2总在极大值的右边。
根据以上两种操作,我们可以不停进行三分,直到找到极大值,对于有极小值的单峰函数也是同一个道理。

放两张图在这里,大家自行理解吧......

针对有极大值,且有y1<y2的单峰函数

针对有极小值,且有y1>y2的单峰函数。

qwq三分的知识其实比起二分更简单易懂,因为它能解决的题目范围更狭窄,但需要较强的数学思维,在题目中
能够找出单峰函数的思想。 二分只是一个简单的模板,如果运用到具体的问题当中,要先理清楚这道题有没有二分思想,
同时呢,我认为二分当中的核心应该是check()函数。

下面给出一道题

洛谷P1873 传送带(SCOI2010) 题解(附原OJ链接)

二分的题解就到这里了,很感慨。第一次接触二分我还是一个普及组萌新时根本就看不懂跳石头,甚至完全无法理解......

事实证明,成长的道路上荆棘满布,但只要我们勇敢前行,就没有无法克服的艰难险阻!

posted @ 2019-07-09 23:38  haruka酱  阅读(...)  评论(...编辑  收藏
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