常用数学公式

常用数学公式

等比数列

等比数列，又名几何数列。是一种特殊数列。它的特点是：从第2项起，每一项与前一项的比都是一个常数。

假设有数列 $a_1,a_2,a_3\dots a_n$，则：

\begin{equation*} q = \frac{a_i}{a_{i-1}}\;\;(i>1) \end{equation*}

公式

通项公式：

\begin{equation*} a_n = a_1q^{n-1}\;\;(n\in\mathbb N^+) \end{equation*}

求和公式：

\begin{equation*} \mathbf S_n = \frac{a_1 - a_1q^n}{1-q}\;\;(q\neq1) \end{equation*}

推导

$\mathbf S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n$

即：$\mathbf S_n = a_1 + a_1q + a_1q^2 + \dots + a_1q^{n-1}$ ....(1)

两边同时乘以 $q$：$q\mathbf S_n = a_1q + a_1q^2 + a_1q^3 + \dots + a_1q^n$ ....(2)

(1)式减(2)式得：$(1-q)\mathbf S_n = a_1 - a_1q^n = a_1(1 - q^n)$

即：$\mathbf S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1-q}$

Note

当 $-1<q<1$ 时对于无限项等比数列，可以由极限的知识进一步推导出：

\begin{equation*} \mathbf S = \lim_{n\to+\infty}\mathbf S_n = \lim_{n\to+\infty}\frac{a_1-a_1q^n}{1-q} = \frac{a_1}{1-q} \end{equation*}

性质

如果数列 $\{a_n\}$ 是等比数列，那么有以下几个性质：

• $a_n = a_mq^{n-m}\;\;(m, n \in \mathbb N^*,\;n > m)$
• $a_m\cdot a_n = a_s\cdot a_t\;\;(m,n,s,t \in \mathbb N^*,\;m+n=s+t)$
• $a_j^2 = a_ia_k\;\;(a_i,a_j,a_k \in \{a_n\},\;j-i=k-j\ge 1)$