石子合并（copy的 我不会）

石子归并[1]

——浅谈贪心思想在动态规划中的应用

题目大意：

在一个操场上摆放着一排n（n≤1000）堆石子。现要将石子有次序地合并成一堆。规定每次只能选相邻的2堆石子合并成新的一堆，并将新的一堆石子数记为该次合并的花费。

试编程求出将n堆石子合并成一堆的最小花费。

算法分析：

这是一道经典的动态规划问题，用m[i,j]表示第i堆石子合并到第j堆石子所需的最小花费，w[i,j]表示第i堆石子到第j堆石子的石子总数。状态转移方程如下：

上述算法的状态总数为O(n²)，每个状态转移的状态数为O(n)，每次状态转移的时间为O(1)，所以总的时间复杂度为O(n³)。

显然，这个简单易懂的算法的过于低效了，我们需要进行优化。

 

我们尝试寻找动态规划中的冗余。不难发现，在枚举决策k的时候，上述算法实在是太盲目了，因为当有一些k如果作为决策点，肯定得不到最优解，我们可以不去枚举他们。

这是一种贪心的思想！

 

令s[i,j]表示使得m[i,j]取到最小时的k。可以用四边形不等式[2]证明出

s[i,j]≤s[i,j+1]≤s[i+1,j+1],     i≤j

这说明m[i,j]的决策单调。于是状态转移方程可以变成如下的形式：

整体的时间复杂度则变为了：

   

本题的相关证明详见参考文献[3]

本题小结：

决策单调的动态规划是一类很常见的问题，例如NOI2004的hut就是一道不错的根据决策单调的性质来优化动态规划的题目。根据决策单调的性质，我们避免了一些无用的决策枚举，从而使得算法的复杂度降了级，这是贪心思想的经典体现。

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[1] 经典问题

[2] 当函数w[i,j]满足 时，称w满足四边形不等式。