线性代数复习笔记

线性代数笔记

一些参考来源：

武汉大学黄正华老师个人主页有很多数学相关的有用资料

3blue1brown B站账号数形结合，以可视化的方式展现公式

基向量 basis vectors

v与w全部线性组合构成的向量集合称为“张成的空间”

\[a\vec{v}+b\vec{w} \]

有多个向量，并且可以移除其中一个而不减小张成的空间，称其为线性相关（Linearly dependent）的

向量空间的一组基是张成该空间的一个线性无关向量集

线性变换 Linear transformation

保持网格线平行且等距分布

将其看作一种对空间挤压变换的函数

直线依旧是直线$L(v+w)=L(v)+L(w)$
原点保持固定$L(cv)=cL(v)$

\[\left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ y \\ \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} ax+by \\ cx+dy \\ \end{matrix} \right] \]

两个矩阵相乘的几何意义是将两个线性变换相继作用，这个乘积需要从右向左读

直观表现矩阵乘法具有结合律

$A(BC)=(AB)C$

行列式 determinant

对于二维来说，代表线性变换改变面积的比例；对于三维，代表体积的缩放

所以，可以用一个矩阵的行列式是否为0来判断是否将空间压缩到更小的维度上

负的行列式表示空间定向（orientation）发生了改变（flipping），二维中用旋转方向表示，三维中用右手法则表示

n阶行列式

范德蒙行列式

行列式性质

行列式转置后值不变，$D^T=D$
行列式A中某行(或列)用同一数k乘,其结果等于kA
互换行列式中两行，值变为相反数
行列式某行元素全为0，行列式值为0
行列式中两行成比例，行列式为0
行列式中一行（或列）所有元素乘以一个数后加到另一行（或列），行列式值不变
行列式中一行（或列）可以写成两元素相加形式，可以拆分为两个行列式相加
⼀⾏元素乘以另⼀⾏对应元素的代数余⼦式, 其和为零

矩阵运算

\[A\vec{X}=\vec{V} \]

A代表一个线性变换，使得向量X变换后与V重合

当$det(A)\ne0$时，有唯一解，可以通过逆变换(inverse)来找到X

行列式不为零才有逆矩阵

\[A^{-1}A\vec{X}=A^{-1}\vec{V}\\ I\vec{X}=A^{-1}\vec{V}\\ \vec{X}=A^{-1}\vec{V} \]

当$det(A)=0$时，可能存在解

奇异矩阵

行列式等于0的方阵

伴随矩阵

由行列式|A|的代数余子式$A_{ij}$所构成的矩阵

可得以下重要公式：

\[\begin{align} AA^*=A^*A&=|A|I \\ |A| \ne 0 \rightarrow A^{-1}&=\frac{1}{|A|}A^* \\ &=\frac{1}{ad-bc} \left( \begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix} \right) \end{align} \]

逆矩阵

正交矩阵

\[A^TA=I \]

A为n阶正交矩阵的充要条件是：A的列向量组为$\R^n$的一组标准正交基

定理有：

不满足的运算定律

交换律
- $AB=BA$一般不成立，成立时称A B可交换
- 提取公因子时要分清是从左侧还是右侧提出$AB-B=(A-I)B$
消去律
- 当 $AB = 0$ 时, 不能推出 A = 0 或 B = 0.
- 当 $AB = AC$, 且 $A \ne 0$ 时, 不能得到 B = C.
- 注意, 当 A 可逆时, 消去律是成⽴的

其他重要公式

矩阵初等变换

遵循左乘行变，右乘列变的特点

秩 Rank

列空间（Column space）的维数。线是一维，面是二维，列空间就是矩阵的列所张成的空间

秩与列数相等时称为满秩（Full rank）

零向量一定包含在列空间中，因为线性变换零向量的位置不变

变换后落在零向量上的向量构成“零空间”（Null space）或“核”（Kernel）

证明$r(A+B)\le r(A)+r(B)$

证明$r(AB)\le min\{r(A),r(B)\}$

非方阵

例如2*3矩阵，将3维空间的向量映射到2维空间中（本来每个向量使用三维坐标表示的，变成了二维坐标表示）

点积

\[\vec{a}\cdot\vec{b}=cos\theta\cdot|\vec{a}| |\vec{b}| \]

投影与某个二维向量相关，投影就是将其中一个向量转化为线性变换

叉积

基向量的顺序就是定向的基础，其值物理意义是构成的平行四边形的面积，即行列式的值. 但叉积的结果是一个与源向量垂直的向量

\[\hat{i} \times \hat{j}=1 \\ \hat{j} \times \hat{i}=-1 \]

右手法则

物理意义

叉积计算公式

根据点积的几何意义和行列式的几何意义，给定v，w，且（x,y,z）是基向量，可以求得p，即垂直v,w，长度为构成的平行四边形面积。结果意义为平行六面体的体积。

混合积

\[\vec{a} \cdot (\vec{b}\times\vec{c}) \]

其意义为a,b,c构成的平行六面体的体积

三个非零向量共面的充要条件是其混合积为0

这三个向量具有轮换对称性

基变换

假设有一个叫jennifer的人使用跟我们不同的基向量（不同的语言），可以用我们的语言来描述她的基向量，得到一个矩阵A(基变换矩阵 change of basis matrix).用她的坐标描述的向量乘该矩阵，得到我们坐标描述的向量（该向量是同一向量，只是基不同），同时可以使用逆矩阵表示相反的过程。