Codeforces Round #708 (Div. 2) C1,C2 k-LCM 数学构造

• $C1$链接,$C2$链接
  

• 解题思路
  我们先看$C1$,解决了$C1$的话$C2$其实也就解决了。题目要求我们输出$k$个数满足下列条件：

  • $a_1+a_2+\dots +a_k=n$
  • $LCM(a_1,a_2,\dots ,a_k)\le \frac{n}{2}$

  由于C1中的$k$只有$3$，也就是说我们需要构建$3$个数满足以上条件。我们知道偶数的因子为$2$，而$1$是任何数的因子，那么如果$n$是奇数的话，那么其实就可以得到答案了，为$1,(n-1)/2,(n-1)/2$，这样是最简单的。那么如果$n$是偶数呢？我们还是利用上面那个性质，由于我们要分解$n$，我们判断对$n$对半分的奇偶性，这样如果$n\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4=0$，那么我们可以直接构造$n/2n/4n/4$，这样保证了它们的最小公倍数是$n/2$，而如果是奇数呢？那也好办，我们将其变成偶数，即进行减$1$操作，得到的是$n/2-1$，那么我们发现$n/2-1+n/2-1+2==n$，且最小公倍数也符合条件，这即是所有的构造方案，适用任何情况。那么对于$C2$呢？它的$k>=3$，那么我们何尝不把它变成$3$再利用$C1$的方案解决了？$1$是任何数的因子，利用这个特性，我们构造$k-3$个$1$，同时$n$的值也要变成$n-(k-3)$，之后题目就和$C1$一样了。

• C1代码

/**
* @filename:C.cbp
* @Author : pursuit
* @Blog:unique_pursuit
* @email: 2825841950@qq.com
* @Date : 2021-03-18-08.47.26
*/
#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long ll;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int maxn=1e5+5;
const int mod=1e9+7;

//数学构造类问题。
int t,n,k;
void solve(){
    //我们需要对n的奇偶性判断。
    if(n%2){
        //为奇数，我们只要输出1 (n-1)/2 (n-1)/2即可。
        cout<<1<<" "<<(n-1)/2<<" "<<(n-1)/2<<endl;
    }
    else{
        //为偶数的话，我们需要在n/2上做处理
        if(n%4==0){
            //如果n/4也是偶数，那么n/2 n/4 n/4则满足构造条件。
            cout<<n/2<<" "<<n/4<<" "<<n/4<<endl;
         }
         else{
            //如果不是偶数，那么我们就可以构造偶数，其我们易知偶数的因子有2.
            cout<<n/2-1<<" "<<n/2-1<<" "<<2<<endl;
         }
    }
}
int main(){
    while(cin>>t){
        while(t--){
            cin>>n>>k;
            solve();
        }
    }
    return 0;
}

• C2代码

/**
* @filename:C.cbp
* @Author : pursuit
* @Blog:unique_pursuit
* @email: 2825841950@qq.com
* @Date : 2021-03-18-08.47.26
*/
#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long ll;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int maxn=1e5+5;
const int mod=1e9+7;

//数学构造类问题。
int t,n,k;
void solve(){
    //和处理C1一样，我们可以先输出k-3个1，这样问题就和C1一样了。
    for(int i=1;i<=k-3;i++){
        cout<<1<<" ";
    }
    n-=(k-3);
    //我们需要对n的奇偶性判断。
    if(n%2){
        //为奇数，我们只要输出1 (n-1)/2 (n-1)/2即可。
        cout<<1<<" "<<(n-1)/2<<" "<<(n-1)/2<<endl;
    }
    else{
        //为偶数的话，我们需要在n/2上做处理
        if(n%4==0){
            //如果n/4也是偶数，那么n/2 n/4 n/4则满足构造条件。
            cout<<n/2<<" "<<n/4<<" "<<n/4<<endl;
         }
         else{
            //如果不是偶数，那么我们就可以构造偶数，其我们易知偶数的因子有2.
            cout<<n/2-1<<" "<<n/2-1<<" "<<2<<endl;
         }
    }
}
int main(){
    while(cin>>t){
        while(t--){
            cin>>n>>k;
            solve();
        }
    }
    return 0;
}