Codeforces Round #723 (Div. 2) A~C题解

文章目录

• A. Mean Inequality
• B. I Hate 1111
• C1，C2. Potions

A. Mean Inequality

• 题目大意

  给你一个长度为$2n$的数组，重新编排顺序使得环状的$\frac{b_{i-1}+b_{i+1}}{2}!=b_i$。

• 解题思路

  将数组从小到大排序，我们构造按大小大小的顺序依次构造即可，这很容易证明符合题目要求。

• AC代码

/**
  *@filename:A_Mean_Inequality
  *@author: pursuit
  *@csdn:unique_pursuit
  *@email: 2825841950@qq.com
  *@created: 2021-05-28 22:06
**/
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long ll;
const int N = 5000 + 5;
const int P = 1e9+7;

int t,n,a[N];
bool vis[N];
void solve(){
}
int main(){
    cin >> t;
    while(t -- ){
        cin >> n;
        for(int i = 1; i <= 2 * n; ++ i){
            cin >> a[i];
        }
        sort(a + 1,a + 2 * n + 1);
        int i = 1,j = 2 * n;
        while(i <= j){
            printf("%d %d ",a[j],a[i]);
            i ++ ;
            j -- ;
        }
        printf("\n");
    }
    solve();
    return 0;
}

B. I Hate 1111

• 题目大意

  给你一个数$x$，需要你判断$x$是否能由$11,111,1111...$的数组成。

• 解题思路

  我们首先要知道一个定理，当正整数$A$和$B$互质的时候，**用A和B表示不出的最大数为A*B-A-B。**这里不予证明，所以我们发现，对于$11$和$111$互质，我们用这最小的两个构造就可以了，则最大不能表示的数为$1099$。其余的都可以表示。那么对于小于这些的，我们可以利用完全背包解决，将$x$看成背包体积。判断是否可达$x$即可。当然，对于$<1099$的$x$判断其实还有很多做法，例如暴力等。

  这里我们推荐一个官方解法，我们先来证明一下：若$x=A\ast 11+B\ast 111$，我们把$B$表示为$C\ast 11+D,D<11$。那么$x=(A+C\ast 111)\ast 11+D\ast 111$，所以实际上我们只需要判断$x$是否满足这个式子即可。

  注意，两种解法都用到了开篇说明的定理，这可以有效的减小时间复杂度。

• 完全背包AC代码

/**
  *@filename:B_I_Hate_1111
  *@author: pursuit
  *@csdn:unique_pursuit
  *@email: 2825841950@qq.com
  *@created: 2021-05-28 22:13
**/
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long ll;
const int N = 100000 + 5;
const int P = 1e9+7;

int t;
ll x;
int main(){
    cin >> t;
    while(t -- ){
        cin >> x;
        if(x > 1099){
            cout << "YES" << endl;
        }
        else{
            bool flag = false;
            while(true){
                if(x % 11 == 0){
                    flag = true;
                    break;
                }
                x -= 111;
                if(x < 0)break;
            }
            if(flag){
                cout << "YES" << endl;
            }
            else{
                cout << "NO" << endl;
            }
        }
    }
    return 0;
}

• 数学构造AC代码

/**
  *@filename:B_I_Hate_1111
  *@author: pursuit
  *@csdn:unique_pursuit
  *@email: 2825841950@qq.com
  *@created: 2021-05-28 22:13
**/
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long ll;
const int N = 100000 + 5;
const int P = 1e9+7;

int t;
ll x;
ll a[] = {0,11,111};
ll dp[N];
int main(){
    cin >> t;
    int n = 2;
    while(t -- ){
        cin >> x;
        if(x > 1099){
            cout << "YES" << endl;
        }
        else{
            memset(dp,0,sizeof(dp));
            dp[0] = 1;
            for(int i = 1; i <= n; ++ i){
                for(int j = 0; j <= x; ++ j){
                    if(j >= a[i]){
                        dp[j] = max(dp[j],dp[j - a[i]]);
                    }
                }
            }
            if(dp[x] > 0){
                cout << "YES" << endl;
            }
            else{
                cout << "NO" << endl;
            }
        }
    }
    return 0;
}

C1，C2. Potions

• 题目大意

  从左到右有$n$瓶药水，每瓶药水都有健康值，你可以选择饮用或忽略。你不能使得你的健康值为负，初始值为$0$，问能够饮用的最大药水数。

• 解题思路

  • 01背包问题$O(n^2)$

    可以选或不选，这很明显就是我们熟悉的$01$背包问题，我们定义$dp[i][j]$表示前$i$瓶药水饮用了$j$瓶药水的最大能量值，易知该状态由$dp[i-1][j]$和$dp[i-1][j-1]$，需要注意的是，我们必须判断它们是否$\ge 0$，因为只有健康值$\ge 0$才可以继续饮用，至此，状态转移方程易得：$dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-1]+a[i])$。

    该做法时间复杂度为$O(n^2)$，只能过$C1$。

  • 反悔贪心，优先队列维护选择的负值$O(nlogn)$

    我们发现，在选择的过程中，正数是一定可以选择的，而负数则不一定，如果我们当前有能量值$7$,而之前选择了$-8$，而后有$-3,-6$。我们显然可以不选$-8$，转而选择$-3$和$-6$，这也就是反悔贪心，我们当前有更优的策略，就可以更改之前的错误决定。

    既然这样，那么我们如何实现这种贪心呢？实际上我们只需要优先队列维护已经选择的负值，然后在每次加上负值不符合条件后判断是否有更优的负值供替换。这种思想就是当前已经为负值，即代表不选择此时的值，而若之前有比这更小的负数，我们为何不替换掉呢？ 这种贪心策略显然可以得到全局最优解。$O(nlogn)$的做法是优秀的，可以过$C2$

• 01背包AC代码

/**
  *@filename:C1_Potions_Easy_Version_
  *@author: pursuit
  *@csdn:unique_pursuit
  *@email: 2825841950@qq.com
  *@created: 2021-05-28 22:42
**/
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long ll;
const int N = 2000 + 5;
const int P = 1e9+7;

int n,a[N];
ll dp[N][N];//dp[i][j][0]表示前i瓶已经喝了j瓶,此时你的体力。如果为负数则淘汰。
void solve(){
    fill(dp[0],dp[0] + N * N,-0x3f3f3f3f);
    for(int i = 0; i <= n; ++ i){
        dp[i][0] = 0;
    }
    //状态转移，dp[i][j] = max(dp[i - 1][j],dp[i - 1][j - 1] + a[i])
    for(int i = 1; i <= n; ++ i){
        for(int j = 1;j <= i; ++ j){
            if(dp[i - 1][j - 1] >= 0){
                dp[i][j] = max(dp[i - 1][j - 1] + a[i],dp[i][j]);
            }
            if(dp[i - 1][j] >= 0){
                dp[i][j] = max(dp[i - 1][j],dp[i][j]);
            }
        }
    }
    for(int j = n; j >= 0; -- j){
        if(dp[n][j] >= 0){
            cout << j <<endl;
            break;
        }
    }
}
int main(){
    cin >> n;
    for(int i = 1; i <= n; ++i){
        cin >> a[i];
    }
    solve();
    return 0;
}

• 反悔贪心AC代码

/**
  *@filename:C1_Potions_Easy_Version_
  *@author: pursuit
  *@csdn:unique_pursuit
  *@email: 2825841950@qq.com
  *@created: 2021-05-28 22:42
**/
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long ll;
const int N = 200000 + 5;
const int P = 1e9+7;

int n,a[N];
priority_queue<int,vector<int>,greater<int> > q;
void solve(){
    int res = 0;
    ll ans = 0;
    for(int i = 1; i <= n; ++ i){
        if(ans + a[i] < 0){
            if(q.empty() || a[i] <= q.top()){
                continue;
            }
            else{
                ans = ans - q.top() + a[i];
                q.pop();
                q.push(a[i]);
            }
        }
        else{
            res ++;
            ans += a[i];
            if(a[i] < 0){
                q.push(a[i]);
            }
        }
    }
    printf("%d\n",res);
}
int main(){
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 1; i <= n; ++i){
        scanf("%d", &a[i]);
    }
    solve();
    return 0;
}