Codeforces Round #701 (Div. 2) A~D题解

文章目录

• A. Add and Divide
• B. Replace and Keep Sorted
• C. Floor and Mod
• D. Multiples and Power Differences

A. Add and Divide

• 题意
  给定整数$a,b$，你每次可以进行两种操作：

  • $a=\lfloor \frac{a}{b}\rfloor$。
  • $b=b+1$。

  问最小的操作次数使得$a=0$。

• 解题思路
  我们知道，$2^{30}>10^9$，所以如果$b=2$，那么进行操作$1$，$a$可以在不超过$30$次操作将$a$变为$0$。那么意味着$b$的变化不会超过$31$次。我们枚举$b$，然后统计所需的次数取最小值即可。

• AC代码

/**
  *@filename:A
  *@author: pursuit
  *@created: 2021-09-06 19:05
**/
#include <bits/stdc++.h>
#define debug(a) cout << "debug : " << (#a)<< " = " << a << endl

using namespace std;

typedef pair<int,int> pii;
typedef long long ll;
const int N = 1e5 + 10;
const int P = 1e9 + 7;
const int INF = 0x3f3f3f3f;

int t, a, b;
void solve(){
    int minn = INF;
    for(int i = max(b, 2); i <= b + 31; ++ i){
        int temp = a, cnt = i - b;
        while(temp){
            temp /= i;
            ++ cnt;
        }
        minn = min(cnt, minn);
    }
    cout << minn << endl;
}
int main(){
    cin >> t;
    while(t -- ){
        cin >> a >> b;
        solve();
    }
    return 0;
}

B. Replace and Keep Sorted

• 题意
  给你一个$n$个整数的序列$a$，有$q$次查询，每次查询给出$[l,r]$，即通过$a_l\cdots a_r$形成一个新序列$c$，需要你找出有多少数组$b$为$c$的$k$相似：即满足严格递增；与$c$恰好存在一位不同；每个元素取值范围为$[1,k]$；具有相同的长度$r-l+1$。

• 解题思路
  我们知道，如果要满足严格递增，那么不是端点的$a[i]$只能变化于$[a[i-1],a[i])$和$(a[i],a[i+1]$，处于左端点的$a[i]$可以变化于$[1,a[i])$，处于右端点的$a[i]$可以变化于$(a[i],k]$。所以我们可以统计出相邻两数的变化次数，即$diff[i]=a[i]-a[i-1]-1$，然后我们发现数的变化如图：
  
  易知$[l,r]$的相邻两数变化的区间都被用了两次，我们可以先处理出前缀和$sum[r]$表示$[1,r]$中的变化次数总和，那么对于$[l,r]$由于$a[i]$到$a[i+1]$的变化用了两次，所以这里需要计算$(sum[r]-sum[l])\times 2$，然后$a[l],a[r]$的变化需要累加$a[l]-1+k-a[r]$。
  至此题解。

• AC代码

/**
  *@filename:B
  *@author: pursuit
  *@created: 2021-09-07 09:35
**/
#include <bits/stdc++.h>
#define debug(a) cout << "debug : " << (#a)<< " = " << a << endl

using namespace std;

typedef pair<int,int> pii;
typedef long long ll;
const int N = 1e5 + 10;
const int P = 1e9 + 7;
const int INF = 0x3f3f3f3f;

int n, q, k, a[N], diff[N], sum[N];
void solve(){
    int l, r;
    while(q -- ){
        scanf("%d%d", &l, &r);
        //l 和 r可以往l - 1和r + 1那靠。
        int x = (sum[r] - sum[l]) * 2;
        x += a[l] - 1 + k - a[r];
        printf("%d\n", x);
    }
}
int main(){	
    scanf("%d%d%d", &n, &q, &k);
    for(int i = 1; i <= n; ++ i){
        scanf("%d", &a[i]);
        diff[i] = a[i] - a[i - 1] - 1;//判断可供选择空间。
        sum[i] = sum[i - 1] + diff[i];
    }
    solve();
    return 0;
}

C. Floor and Mod

• 题意
  给定$a$和$b$的范围为$a\in [1,x],b\in [1,y]$,求有多少对$(a,b)$使得$a/b=a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b$。
• 解题思路
  我们设$a/b=a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b=k$，那么$a=kb+k=k\times (b+1)$。则任务转变为对于每个$b$找到有多少个$k$满足$k\times (b+1)=a$的。由于余数为$k$，所以$b>k$，因为余数不会超过b。那么我们可以枚举$k$，然后通过$a$的取值范围可得到$b$的取值范围为$x/k-1$，又因为要大于$k$，则$b$的取值范围为$min(y,x/k-1)-k$。
  故此题得解，
• AC代码

/**
  *@filename:C
  *@author: pursuit
  *@created: 2021-09-07 09:49
**/
#include <bits/stdc++.h>
#define debug(a) cout << "debug : " << (#a)<< " = " << a << endl

using namespace std;

typedef pair<int,int> pii;
typedef long long ll;
const int N = 1e5 + 10;
const int P = 1e9 + 7;
const int INF = 0x3f3f3f3f;

int t, x, y;
void solve(){
    int temp = sqrt(x);
    ll sum = 0;
    for(int k = 1; k <= temp; ++ k){
        //- k是因为b > k。
        sum += max(0, min(y, x / k - 1) - k);
    }
    printf("%lld\n", sum);
}
int main(){	
    cin >> t;
    while(t -- ){
        cin >> x >> y;
        solve();
    }
    return 0;
}

D. Multiples and Power Differences

• 题意
  给定矩阵$a$，然后让你构造相同大小的$b$。使得：$b_{ij}\in [1,10^6]$；$b_{ij}$为$a_{ij}$的倍数。对于每个相邻的单元格对中数字之间的差值的绝对值为$k^4$。

• 解题思路
  由于$a_{i,j}\in [1,16]$，所以$lc{m}_{i=1}^{16}i=720720\le 10^6$。则我们可以在奇数位置构造该值，然后偶数位置都构造$720720+a_{ij}^4$。至此，相邻两数之差则满足。

• AC代码

/**
  *@filename:D
  *@author: pursuit
  *@created: 2021-09-07 10:18
**/
#include <bits/stdc++.h>
#define debug(a) cout << "debug : " << (#a)<< " = " << a << endl

using namespace std;

typedef pair<int,int> pii;
typedef long long ll;
const int N = 5e2 + 10;
const int P = 1e9 + 7;
const int INF = 0x3f3f3f3f;

int n, m, a[N][N];
void solve(){
    int lcm = 1;
    for(int i = 2; i <= 16; ++ i){
        lcm = i * lcm / __gcd(i, lcm);
    }
    for(int i = 1; i <= n; ++ i){
        for(int j = 1; j <= m; ++ j){
            if((i + j) & 1){
                printf("%d ", lcm);
            }
            else{
                printf("%d ", lcm + (int)pow(a[i][j], 4));
            }
        }
        puts("");
    }
}
int main(){	
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for(int i = 1; i <= n; ++ i){
        for(int j = 1; j <= m; ++ j){
            scanf("%d", &a[i][j]);
        }
    }
    solve();
    return 0;
}