P1220 关路灯 题解

Description

给定 \(n\) 个点的位置 \(a_i\) 和每秒的花费 \(b_i\)，你的初始位置是 \(s\)，你删掉一个点的时间为 \(0\) 秒，走 \(1\) 个单位长度的时间是 \(1\) 秒。请你确定一种关灯顺序，使得所有点的最终花费最小（删掉点后这个点不会再花费）。

Solution

每删掉一个点，有两种选择：继续往前或者往回走，显然是区间型问题。考虑 \(\rm DP\)。设 \(dp[i][j][0/1]\) 表示 \([i,j]\) 区间的点全删掉，现在在 \(i\) 或 \(j\) 的最小花费，设 \(sum_i=\sum\limits_{j=1}^{i} b_j\)，易得状态转移方程：

\[dp[i][j][0] = \min\{ dp[i + 1][j][0] + (a_{i+1}-a_i) \times (sum_n-sum_j+sum_i), dp[i+1][j][1]+(a_j-a_i) \times (sum_n-sum_j+sum_i) \} \]

\[dp[i][j][1] = \min\{ dp[i][j-1][1]+(a_j-a_{j-1}) \times (sum_n-sum_{j-1}+sum_{i-1}), dp[i][j-1][0]+(a_j-a_i) \times (sum_n-sum_{j-1} + sum_{i-1}) \} \]

本题难点在于状态表示，转移方程很简单。

Code

#include <bits/stdc++.h>

#define int long long

using namespace std;

constexpr int N = 60;

int n, s;
int a[N], b[N], sum[N];
int dp[N][N][2];

signed main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    cin >> n >> s;

    memset(dp, 0x3F, sizeof(dp));

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> a[i] >> b[i];
        sum[i] = sum[i - 1] + b[i];
    }

    dp[s][s][0] = 0;
    dp[s][s][1] = 0;
    for (int len = 2; len <= n; len++) {
        for (int i = 1; i + len - 1 <= n; i++) {
            int j = i + len - 1;
            dp[i][j][0] = min(dp[i + 1][j][0] + (a[i + 1] - a[i]) * (sum[n] - sum[j] + sum[i]), dp[i + 1][j][1] + (a[j] - a[i]) * (sum[n] - sum[j] + sum[i]));
            dp[i][j][1] = min(dp[i][j - 1][1] + (a[j] - a[j - 1]) * (sum[n] - sum[j - 1] + sum[i - 1]), dp[i][j - 1][0] + (a[j] - a[i]) * (sum[n] - sum[j - 1] + sum[i - 1]));
        }
    }

    cout << min(dp[1][n][0], dp[1][n][1]) << "\n";

    return 0;
}