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本关考验你的哈集幂功夫！
记 \(a_i=\frac{A_i}{S},g=f\oplus a\)。按照题目给的定义是列不出式子的，但是从 \(0\) 到 \(x\) 的期望时间等于 \(x\) 到 \(0\) 的期望时间，有：\(\begin{cases}f_i=0, &i=0 \\ f_i=\sum\limits_{x\oplus y=i}f_xa_y+1, & i\neq 0\end{cases}\)。这个东西看起来很像 FWT，有 \(f_i-1=g_i\)，但问题出在 \(i=0\) 时这个不成立。
由于 \(\sum a_i=1\)，则 \(\sum f_i=\sum g_i\)，有 \(g_0=\sum f_i-\sum\limits_{i\neq 0}g_i=\sum\limits_{i\neq 0}f_i-g_i=2^n-1\)。但是，\(g\) 的式子里面依然有 \(f_i\)，没法直接求逆。考虑使 \(a_0\) 减 \(1\)，\(g_i\) 就会减去 \(f_i\)，又因为 \(f_0=0\)，所以这样 \(g\) 就与 \(f\) 无关了，可以进行 FWT 求逆。
这样就做完了……吗？根据异或 FWT 的定义，\(FWT(a)_0=\sum a_i\)，因为前面使 \(a_0\) 减 \(1\)，则 \(FWT(a)_0=0\)，得到 \(FWT(f)_0\times 0=FWT(g)_0\)，就无法求出 \(FWT(f)_0\) 的值了。随便给 \(FWT(f)_0\) 赋一个值 \(x\)，设 \(x-FWT(f)_0=x'\)，则 IFWT 后得到的每个 \(f_i\) 比它的真实值大 \(\frac{x'}{2^n}\)，根据 \(f_0=0\) 可以还原 \(f_i\) 的真实值。