向量点乘 ds

向量点乘（点积、内积）是向量运算中的一种基本操作，具有重要的代数与几何意义。以下是关于向量点乘的系统总结：

### 1. **定义**
- **代数定义**：对于向量 \(\mathbf{a} = (a_1, a_2, \dots, a_n)\) 和 \(\mathbf{b} = (b_1, b_2, \dots, b_n)\)，点乘定义为对应分量乘积之和：
\[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + \dots + a_nb_n
\]
- **几何定义**：若两向量的模长分别为 \(|\mathbf{a}|\) 和 \(|\mathbf{b}|\)，夹角为 \(\theta\)，则点乘可表示为：
\[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta
\]

### 2. **几何意义**
- **投影**：点乘可求向量 \(\mathbf{a}\) 在 \(\mathbf{b}\) 方向上的投影长度：
\[
\text{投影长度} = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{b}|}
\]
- **夹角计算**：利用点乘可求两向量夹角：
\[
\cos\theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}
\]
- **正交性**：若 \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0\) 且两向量非零，则它们垂直。

### 3. **性质**
- **交换律**：\(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a}\)
- **分配律**：\(\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{a} \cdot \mathbf{c}\)
- **结合标量乘法**：\((k\mathbf{a}) \cdot \mathbf{b} = k(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})\)
- **模长计算**：\(|\mathbf{a}| = \sqrt{\mathbf{a} \cdot \mathbf{a}}\)

### 4. **应用示例**
- **判断正交**：向量 \((1, 1)\) 与 \((-1, 1)\) 点乘为 \(0\)，故垂直。
- **计算功**：力 \(\mathbf{F}\) 与位移 \(\mathbf{d}\) 的功为 \(W = \mathbf{F} \cdot \mathbf{d}\)。
- **余弦相似度**：归一化后的点乘用于衡量向量方向相似性。

### 5. **注意事项**
- **零向量**：若点乘为零，可能两向量垂直或至少一个为零向量。
- **维度通用性**：点乘适用于任意维度，而叉乘通常限于三维。

通过深入理解点乘的定义与几何意义，可灵活应用于物理、计算机图形学及机器学习等领域。