一个计算矩形体的数学编程题记录

题目大概如下：
给定一个给定大小的立方体：
2x3x6；
3x3x3；
3x5x6；

之后计算这个立方体中小矩形的数量，
组成一个最小的其中单位的大小为1，
也就是最小的立方体在原立方体中占
的位置为1x1x1；

但是同样的1x1x2这个矩形也会从2x3x6
中去获取。

那么计算这道题的思路一开始我想到了
排列组合。

继而我想，三维的问题，先通过解决二维
的问题来解决，也就是先通过解决原立方体上
一个面上的问题继而再解决它对应的三维方向
上的其他问题。

（1）如上图1，ogirinalShape是原立方体上一个2x3的横截面，
而构成这个横截面的坐标如果以1x1这个二维最小单位去区分，
会分为如图那样以一些“点”为端点的许多的坐标组出现。

同样在
这个动图中，通过蓝色透明层（也就是countShape，用来统计一个给定大小的平面
上有几个不同的1x1的大小的矩形存在），来统计计算countShape在originalShape中
出现的不同变种，

ok，当countShape随着从1x1开始不断根据originalShape大小，而不断变化，
并且不会有重复占用位置的大小的数据遍历之后，也就是说明了这个二维层面
上的小矩形体可以存在的数量。

计算这个数量我考虑到用到2x3这个大小的（2+1）x（3+1）= 12
个坐标数据（最大外框坐标），并且对应的变化到countShape可以变化到
得到的不同的坐标数据（countShape坐标），去用编程求解。

这是第一步。

（2）如上图2，假设有一辆疾驰而来的列车，列车载着有不同车厢里
有相同的列车识别码的人们，比如1号车厢里的为9901A，同样地，如果
有8节车厢，那么每一节车厢都会有这个9901A，那么相同列车识别码
的人，他们会参加一个列车长组织的抽奖活动，抽奖活动会最后公布一个
列车活动组合码，活动组合码的规则就是说相同列车识别码的人去合并
起来组成一个“列车链”，而最终这个链有多长是随机的，也就是可以是
长度1，即不跟其他车厢的人组合，也可能是8，可能是5.
而最终列车长公布抽奖结果后，这个码就是对应列车识别码组合的组合码。

同样的，列车识别码不会有不同长度的存在。
这样去思考后，我觉得去计算第三维度的小矩形体的数量就可以根据在
列车长度上出现的组合码的组合变化数量来进行计算。

即最简单的1+2+.....+100，车厢号累加的最后数值。

（3）通过第三维度不同大小的伸缩，得到了第三维度的这个z轴上计算的
乘数，那么我预测最终的问题的结果就是一个面上出现的不同矩形的数量，
乘以z轴计算的第二步骤的累加值。

通过组合数学，计算变长为x*y的矩形中有多少个不同形状的矩形
其公式为：

C(x,2) * C(y,2) 

当我们题目为2x2的矩形里有几个小矩形，
我们可以看到组合为2x2的矩形一条边上存在3个坐标，
而对应两个方向2，也就是x轴，y轴之后
可以得到公式(也就是说2指明组合中的有哪几个方向，并且每个方向上的长度构成相同，
对应可以尝试在多边形进行测试)

C(3,2) * C(3,2) = (3*2/2)*(3*2/2) = 9 

同样对于2, 3边长的矩形来说

C(3,2) * C(4,2) = (3*2/2)*(4*3/2) = 18

countShape的数值现在根据组合数学更好地得出结果，
那么再乘以第三维度的z轴累加值即可得到结果。

最终这个题目的结果公式：

(((x+1)*x)/2 * ((y+1)*y)/2) * ((z/2) * (1+z))

其中(((x+1)x)/2 * ((y+1)y)/2)是第一步获取的组合数量countShape
第二个则是第三维轴上伸缩可能的数字。

而在编程中的格式中，需要用到BigInteger这里也只是对公式进行了转换

import static java.math.BigInteger.valueOf;
import java.math.BigInteger;
class Kata {
  public static BigInteger subcuboids(int x, int y, int z) {
        //(((x+1)*x)/2 * ((y+1)*y)/2) * ((1+z) * (z/2))
        BigInteger xComponents = valueOf(x++).multiply(valueOf(x)).divide(valueOf(2));
        BigInteger yComponents = valueOf(y++).multiply(valueOf(y)).divide(valueOf(2));
        BigInteger zComponents = valueOf(z++).multiply(valueOf(z)).divide(valueOf(2));
        return xComponents.multiply(yComponents).multiply(zComponents);
  }
}

同样的，即然公式有了，并且可以看到每个乘积也都是一致的获取方式，
那么怎样去简化呢？

       return Stream.of(x,y,z)
                .map(dimension->valueOf(dimension++).multiply(valueOf(dimension)).divide(valueOf(2)))
                .reduce((l,r)->l.multiply(r))
                .get();

虽然看上去不重复了，但是实际上是一个意思，并且也不太可能有那种多余3个维度（可不可能）的题目来让(x,y,z)变得不确定数量，从而利用Stream.of(集合)可以相应去简化。

做这个题目也查了相关的组合数学，但大多数baidu可以查到的都只是比较简单的二维平面
上的不管是数字还是形状组合，而多余二维甚至多余三维（可不可能）的题目少之又少。

相关资料：
排列组合Cn和An公式分别是什么？
百度知道排列组合
知乎排列组合
雨露学习互助-用排列组合解下列有几个矩形