数学公式

常用公式/结论

组合数学公式

圆排列

\(\frac{P_{n}^{m}}{m}=\frac{n !}{(n-m) ! \times m},(1 \leq m \leq n)\)

n个不同物品中取m个的圆排列

不尽相异元素全排列

如果 \(n\) 个元素里,有 \(p\) 个元素相同，又有 \(q\) 个元素相同 \(, \cdots,\) 又有 \(r\) 个元素相同 \((p+q\) \(+\cdots+r \leqslant n)\),则它的所有排列种数为

\[\frac{n !}{p ! q ! \cdots r !} \]

Cayley定理

n个带标号的点能构成\(n^{n-2}\)棵不同的树

广义Cayley定理

n个标号节点形成一个有k颗树的森林,使得给定的k个点没有两个点属于同一颗树的方案数为\(k*n^{n-k-1}\)

卡特兰数

定义1：\(C_{n+1}=C_{0} C_{n}+C_{1} C_{n-1}+\cdots+C_{n} C_{0}\)

定义2：\(C_n=C_{2n}^{n}-C_{2n}^{n-1}\)

定义3： \(C_{n}=\frac{1}{n+1} \cdot C_{2 n}^{n}\)

卡特兰数\(C_n\)即含有 n 个结点的不相似的二叉树的数量

\(n\)个结点构建的形态不同的树的数量=\(C_{n-1}\)

二项式定理

\[(x+y)^{n}=\sum C_{n}^{i} x^{n-i} y^{i}=\left(\begin{array}{l}n \\ 0\end{array}\right) x^{n}+\left(\begin{array}{l}n \\ 1\end{array}\right) x^{n-1} y+\cdots+\left(\begin{array}{l}n \\ n\end{array}\right) y^{n} \]

组合数递推公式

\[C_{n+1}^{k}=C_{n}^{k-1}+C_{n}^{k} \]

容斥原理

\[\left|A_{1} \cup A_{2} \cup \cdots \cup A_{n}\right|=\sum\left|A_{i}\right|-\sum\left|A_{i} \cap A_{j}\right|+\sum\left|A_{i} \cap A_{j} \cap A_{k}\right|-\cdots+(-1)^{n-1}\left|A_{1} \cap \cdots \cap A_{n}\right| \]

错排问题

考虑一个有n个元素的排列，若一个排列中所有的元素都不在自己原来的位置上，那么这样的排列就称为原排列的一个错排。 n个元素的错排数记为D(n)

\[D_{n}=n ! M_{n}=n !\left(\frac{1}{2 !}-\frac{1}{3 !}+\ldots+(-1)^{n} \frac{1}{n !}\right) \]

斐波那契通项公式

\[a_{n}=1 / \sqrt{5}\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n}\right] \]

求和公式

如何快速推一个简单式子的求和公式？

通过观察得出求和公式的次数x，然后列x元一次方程组求解

\[\begin{alignat}{1}&\sum_{i=1}^{n}i^2=\frac{n*(n+1)*(2*n+1)}{6}\\&\sum_{i=1}^{n}i^3=(\frac{n*(n+1)}{2})^2\\&\sum_{i=1}^{n}i*(n-i)=\frac{n*(n+1)*(n+2)}{6}\end{alignat} \]

几何公式

Pick 定理：给定顶点均为整点的简单多边形，其面积A和内部格点数目\(i\) 、边上格点数目 \(b\) 的关系为: \(\quad A=i+\frac{b}{2}-1\)

欧拉公式：任意多面体，V：顶点数，E：边数，F：面数，存在\(V-E+F=2\)

Pick定理与欧拉公式等价

复杂度估算

调和级数近似求和公式

\[\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i}=\ln (n)+0.577 \]