Atcoder Grand Contest 051 D - C4（多项式）

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不会做 2800 的题了，敲个警钟（

一开始一直想着将从 \(S\) 开始，中途不经过 \(S\) 最后回到 \(S\) 的过程看作一个整体来分析，后来发现至少要三方就自闭了 /kk

不难发现 \(a,b,c,d\) 奇偶性必须相同，否则输出 \(0\) 即可，这样一来我们可以考虑将整个路径拆分为 \(\dfrac{a+b+c+d}{2}\) 条长度为二的子路径，我们将长度为 \(2\) 的子路径分分类可以得到以下四类：

• 起点和终点不同，并且经过 V：\(S\to V\to U,U\to V\to S\)。
• 起点和终点不同，并且经过 T：\(S\to T\to U,U\to T\to S\)。
• 起点和终点相同，均为 S：\(S\to T\to S,S\to V\to S\)。
• 起点和终点相同，均为 U：\(U\to T\to U,U\to V\to U\)。

我们首先枚举前两类路径的出现次数，设为 \(i,j\)，那么确定这 \(i+j\) 段路径的相对顺序的方案数为 \(\dbinom{i+j}{i}\)，这里要求 \(i+j\) 为偶数。接下来考虑插入起终点都为 \(S\) 的路径，显然 \(S\to T\to S\) 和 \(S\to V\to S\) 的出现次数都是固定的，分别为 \(\dfrac{a-j}{2}\) 和 \(\dfrac{d-i}{2}\)，而总共可以插入这些路径的位置总共有 \(\dfrac{i+j}{2}+1\) 种，因此根据插板法，方案数为 \(f(\dfrac{i+j}{2},\dfrac{a-j}{2},\dfrac{d-i}{2})\)，其中 \(f(X,Y,Z)=\dfrac{(X+Y+Z)!}{X!Y!Z!}\)。同理插入 \(U\to T\to U\) 和 \(U\to V\to U\) 的方案数为 \(f(\dfrac{i+j}{2}-1,\dfrac{b-j}{2},\dfrac{c-i}{2})\)。如果把三者乘起来，可以发现每一项至于 \(i\) 或 \(j\) 或 \(i+j\) 有关，因此直接卷积即可。时间复杂度 \(A\log A\)。

总之是一道小清新题。据说有线性做法，确实该紫菜了（