堆排序，优先队列，排序基础
堆排序虽然在性能效率上不及快速排序，但由于优先队列的使用十分广泛，所以堆排序依然是基础中比较重要的部分。
堆的实质其实是一个数组，不过其逻辑结构则是以一颗近似完全二叉树的形式存在的，如图
堆（最大堆）的性质：
1.父结点一定大于子节点（最小堆相反）
2.以每个子结点为根结点的树也是堆
由于近似完全二叉树的性质，还可得出如下性质（数组下标以1开头）：
1.叶子结点的数组下标为（(n/2+1)到n）
2.一个结点的左子结点点的下标为2i，右子结点的下标为2i+1
一. 堆性质维护（即堆在改变的情况，性质不变）：
一般人往往会陷入误区，因为人思维的影响往往会一直思考如何建立一个堆，而不是首先思考如何维护一个堆。但是细想会明白建堆的过程就是在不断地改变堆，所以必要先知道如何去维护堆的性质。
思考：根据上述堆的性质，每个结点必须要大于其子结点，如果不大于怎么办？当然是让小的下去，大的上来，现在用伪代码模拟以i结点为子节点的堆维护过程。
伪代码：
PROTECT(A,i)
1.L=i的左子节点下标，R=i右子节点下标，max = i；
2.if（L<=size&&A[L]>A[i]）
max = L
3.if（R<=size&&A[R]>A[max]）
max = R
4.if（max!=i）
exchange(max,i)
PROTECT(A,max)
想必大家都知道1-3步的原因，而第4步则是源自堆的父节点一定大于子节点的性质，试想如果max=i那么i已经比它的两个子节点要大，自然就比其子节点的子节点要大，所以该堆已经满足性质，无需再下顺。
而若max！=i则i有可能小于其原子节点的子节点（i并非最大），需继续下顺，由于i与max结点值互换，所以此时max代表的才是i，max 需要继续下顺
代码：
//维护堆的性质 // a 表示堆，i表示当前节点下标 , n表示堆数组的实际长度 void protect(int *a,int i,int n){ int max = i; int l = i*2; int r = i*2+1; if(l<=n&&a[l]>a[i]){ max=l; } if(r<=n&&a[r]>a[max]){ max=r; } if(max!=i){ int temp; temp=a[max];a[max]=a[i];a[i]=temp; protect(a,max,n); } }
二. 建堆：
既然维护堆性质的方案已经得出，那么建堆其实就是从以最后一个非叶子节点（n/2）为根节点开始维护堆的性质，一直维护到根节点
代码：
//建堆 void build(int *a,int n){ for(int i=n/2;i>=1;i--){ protect(a,i,n); } }
三. 堆排序：
思考：经过对堆性质的了解，堆排序无非就是将堆的根节点（最大值）取出放在末端，然后维护堆性质，不断循环直到堆中无结点
整体流程：
1.将顶部结点与数组末端进行互换，并取出（为了将大值放到数组后面）
2.维护堆的性质
3.循环至无结点
代码：
//堆排序 void sort(int *a,int n){ for(int i=N;i>=2;i--){ int temp=a[i]; a[i]=a[1]; a[1]=temp; n--; protect(a,1,n); } }
整体示例代码：
/* 堆的建立，维护，插入，取出 */ #include<iostream> using namespace std; #define N 10 //维护堆的性质 // a 表示堆，i表示当前节点下标 , n表示堆数组的实际长度 void protect(int *a,int i,int n){ int max = i; int l = i*2; int r = i*2+1; if(l<=n&&a[l]>a[i]){ max=l; } if(r<=n&&a[r]>a[max]){ max=r; } if(max!=i){ int temp; temp=a[max];a[max]=a[i];a[i]=temp; protect(a,max,n); } } //建堆 void build(int *a,int n){ for(int i=n/2;i>=1;i--){ protect(a,i,n); } } //取出堆顶 int getTop(int *a,int &n){ int result = a[1]; a[1]=a[n];a[n]=0;n--; protect(a,1,n); return result; } //堆排序 void sort(int *a,int n){ build(a,n); for(int i=N;i>=2;i--){ int temp=a[i]; a[i]=a[1]; a[1]=temp; n--; protect(a,1,n); } } int main(){ int a[N+1]; for(int i=1;i<=N;i++){ cin>>a[i]; } int n=10; sort(a,n); for(int i=1;i<=N;i++){ cout<<a[i]<<" "; } return 0; }
优先队列代码：
/* 优先队列 */ #include<iostream> using namespace std; //维护优先队列性质 void protect(int *a,int i,int n){ int left = 2*i; int right = 2*i+1; int max = i; if(a[left]>a[i]&&left<=n){ max = left; } if(a[right]>a[max]&&right<=n){ max = right; } if(i!=max){ int temp = a[max]; a[max] = a[i]; a[i] = temp; protect(a,max,n); } } //建立优先队列 void build(int *a,int n){ for(int i=n/2;i>=1;i--){ protect(a,i,n); } } //取出优先队列头结点 int getTop(int *a,int &n){ int top = a[1]; a[1]=a[n]; n--; protect(a,1,n); return top; } //替换优先列表中的结点 void replace(int *a,int i,int k){ if(a[i]>k){ throw "replace k < node"; } a[i]=k; while(i>1&&a[i/2]<a[i]){ int temp = a[i]; a[i] = a[i/2]; a[i/2] = temp; i=i/2; } } void insert(int *a,int k,int &n){ n++; a[n] = 0; replace(a,n,k); } void sort(int *a,int n){ build(a,n); for(int i=n;i>=1;i--){ int temp = a[i]; a[i] = a[1]; a[1] = temp; n--; protect(a,1,n); } } int main(){ int a[100]; int n = 10; cout<<"输入该数组的10个值："; for(int i=1;i<=n;i++){ cin>>a[i]; } sort(a,n); cout<<"堆排序后："; for(int i=1;i<=n;i++){ cout<<a[i]<<" "; } cout<<"是否要进行插入：1.是，2.否"; int select; cin>>select; if(select == 1){ int num; cout<<"输入要插入的值："; cin>>num; insert(a,num,n); sort(a,n); for(int i=1;i<=n;i++){ cout<<a[i]<<" "; } } return 0; }
