【题解】CF#285 E-Positions in Permutations

　　挺有收获的一道题ヾ(◍°∇°◍)ﾉﾞ

　　恰好为 m ，这个限制仿佛不是很好处理。一般而言，我所了解的恰好为 k 的条件，不是用组合数 / dp状态转移 / 斜率二分就只剩下容斥了。我们可以先处理出 num[i] 表示至少有 i 个完美位置的方案数，之后再容斥得到 ans[m] （恰好为 m 个）。如何获得 num 数组？建立dp状态为 f[i][j][p][q], （其中p, q为01状态）表示dp到第 i 个位置，已经出现了 j 个完美的位置，且 i 和 i + 1 是否被用过。转移的时候分情况讨论：1.当前位置不成为完美的位置，直接忽略；2.当前位置填 i - 1 成为一个完美的位置；3.当前位置填 i + 1 成为一个完美的位置。之后把忽略掉的数乘上排列数即可。

　　这个状态并不是很好想到，但我们主要要明确：第 i 个位置是否成为完美的位置，仅仅与 i - 1 和 i + 1 有关，而也仅有 i + 1 对于后一个位置存在影响。忽略的数字我们可以直接跳过不算，因为当前不用这个数字 i , i 在之后也无法再影响到完美数的形成。至于容斥，我还是只会 \(n^{2}\) 的由至少到恰好的递推……这个 O(n) 的全背背式子吧 :(

　\(ans[m] = num[m] - C(m + 1, m) * num[m + 1] ... * (-1)^{n - m} * C(n, m) * num[n]\)

Upd:突然看懂了下面这个式子呜呜呜，感动……【或许是之前的自己真的太太太太水啦】，其实也就是一个二项式反演啦，由 ans -> num 反演出 num -> ans 即可。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define maxn 1500 
#define int long long
#define mod 1000000007
int n, K, f[maxn][maxn][2][2], num[maxn];
int ans[maxn], fac[maxn], C[maxn][maxn];

int read()
{
    int x = 0, k = 1;
    char c; c = getchar();
    while(c < '0' || c > '9') { if(c == '-') k = -1; c = getchar(); }
    while(c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - '0', c = getchar();
    return x * k;
}

void Up(int &x, int y) { x = (x + y) % mod; }
void pre()
{
    fac[0] = 1; for(int i = 1; i < maxn; i ++) fac[i] = fac[i - 1] * i % mod;
    for(int i = 0; i < maxn; i ++) C[i][0] = 1;
    for(int i = 1; i < maxn; i ++)
        for(int j = 1; j < maxn; j ++)
            C[i][j] = (C[i - 1][j - 1] + C[i - 1][j]) % mod; 
}

signed main()
{
    pre(); n = read(), K = read();
    f[0][0][1][0] = 1;
    for(int i = 0; i < n; i ++)
    {
        for(int j = 0; j <= i; j ++)
            for(int p = 0; p <= 1; p ++)
                for(int q = 0; q <= 1; q ++)
                {
                    Up(f[i + 1][j][q][0], f[i][j][p][q]); 
                    if(!p) Up(f[i + 1][j + 1][q][0], f[i][j][p][q]);
                    if(i < n - 1) Up(f[i + 1][j + 1][q][1], f[i][j][p][q]);
                }
    }
    for(int i = 0; i <= n; i ++) 
    {
        for(int p = 0; p <= 1; p ++)
            for(int q = 0; q <= 1; q ++)
                Up(num[i], f[n][i][p][q]);
        num[i] = num[i] * fac[n - i] % mod; 
    }
    ans[K] = num[K];
    for(int i = K + 1, t = -1; i <= n; i ++, t *= -1)
        Up(ans[K], (t * C[i][K] * num[i] % mod) + mod);
    /*for(int i = n; i >= K; i --)
    {
        int t = num[i];
        for(int j = n; j > i; j --)
            t = (t - (ans[j] * C[j][i]) % mod + mod) % mod;
        ans[i] = t;
    }*/
    printf("%lld\n", ans[K]);
    return 0;
}