【题解】HDU4336 Card Collector

　　显然，这题有一种很简单的做法即直接状压卡牌的状态并转移期望的次数。但我们现在有一个更加强大的工具——min-max容斥。

　　　　min-max 容斥（对期望也成立）：\(E[max(S)] = \sum_{T\subseteq S}^{\ }(-1)^{|T| - 1}E[min(T)]\)

　　我们可以让 \(E[max(S)]\) 表示 \(S\) 中所有元素均出现的期望时间（即最后一个元素出现的期望时间），\(E[min(S)]\) 表示 \(S\) 中任意一个元素出现的期望时间（即第一个元素出现的期望时间）。

　　那么，我们可以直接 \(2^{n}\) 枚举 \(T\) ，然后 \(E[min(T)] = \frac{1}{P}\) 。

　　Why？ 原本用期望的定义式计算为：\(\sum_{i=1 }^{+\infty} P*(1 - P)^{i - 1}*i\)，用等比数列求和即可求得。

#include <cstdio>
using namespace std;
#define db double
#define maxn 100
int n, cnt;
db ans, P, a[maxn];

void dfs(int now)
{
    if(now == n + 1) 
    { 
        if(!cnt) return;
        db T = (db) 1 / P;
        ans += (cnt & 1) ? T : -T; 
        return; 
    } 
    P += a[now]; cnt ++; dfs(now + 1);
    P -= a[now]; cnt --; dfs(now + 1);
}

int main()
{
    while(~scanf("%d", &n))
    {
        ans = 0;
        for(int i = 1; i <= n; i ++)
            scanf("%lf", &a[i]);
        dfs(1); printf("%.6lf\n", ans);
    }
    return 0;
}