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摘要： 有一个变色龙群体，其中包含20只红色、18只蓝色和16只绿色的变色龙。当两个不同颜色的变色龙相遇时，它们就会变成第三种颜色的变色龙。一段时间以后，是否有可能所有的变色龙都变成了同一种颜色？ 这个问题是阿肯色大学的一位数学家Boris Schein寄给Winkler的，它可能是十分古老的一个问题。这个问题曾经作为考题出给Kharkov的一个八年级学生，也曾经出给正在一家大的金融公司面试的哈佛大学的一个年轻毕业生，他们都给出了正确解答！ 问题的关键是注意到任何两个变色龙相遇之后，不同颜色的变色龙的个数之差除以3的余数保持不变（其中相遇的那一对的差值保持不变，其余的两对则是一个减1，一个加2... 阅读全文

摘要： 求证：如果先把一个矩阵每一行的元素都按从小到大的顺序重新排列，然后再把新得到的矩阵每一列的元素按从大到小的顺序排列，最终得到的新矩阵每一行还是按从小到大的顺序一次排列的。 “这是一个经典的定理，简单而令人惊奇。耶路撒冷希伯来得学的Dan Romik提醒我注意这个问题。Danald Knuth在The Art of Computer Programming第三卷中指出，这个结果最早出现在Hermann Boerner1955年写的一本书中。MIT的著名组合学家Richard Stanley的一个学生Bridget Tenner最近写了一篇题为‘A Non-Messing-Up Phenomen. 阅读全文

摘要： 任给一个3位数，用这3个数字可构成的 最大数 减 最小数，如此循环，最终必得495.证明：设三位数为abc，这里只证a>b>c的情况，其他情况可仿效证明。 abc-cba=(a-1-c)b(c+10-a),这说明这三位数经过第一次运算之后，会变得有规律：中间数字为9，其两侧的数字之和为9. 设三位数为m9n(m>n),9mn-nm9=(8-n)9(n+1),这说明经过一次运算之后，右边的数字+1，左边的数字是由8减来的，得到495后，循环不再变化。ps:只要肯动手，什么都不难。 阅读全文

摘要： 简单而有趣的“清一色”：1,11,111,1111,...结论1：数列中所有的项模4余3。证明：显然可以从所有的项模2余1来思考（关于mod的一些变式），这里用更基础的方法。每一项可写成1+10n,或者11+100n,或者111+1000n的形式（显然n取值也是全1），以11+100n为例：11+100n=4(25n+2)+3.over.结论2：数列中除1外，没有一项是整数的平方。证明：由于奇数的平方模4余1，偶数的平方模4余0。（见前一篇）对比结论1，可得结论2。over.结论3：这一数列中，必定有一项是67的倍数。证明：从该数列中，任取67个数，模67。根据鸽巢原理，至少有两个数的余数相同 阅读全文

摘要： 定理1：奇数的平方模4余0，偶数的平方模4余1.证明：不妨设偶数为2n，奇数的平方为2n+1.(2n)^2=4n^2，(2n+1)^2=4n(n+1)+1.OVER.定理2：四个连续自然数的平方+1=奇数的平方。证明：设这4个连续自然数为 x,x+1,x+2,x+3.x(x+1)(x+2)(x+3)+1=(x^2+3x)(x^2+3x+2)+1=(x^2+3x+1)^2下面证明x^2+3x+1一定为奇数：x(x+3) 必定一奇一偶，因为3是奇数，而奇数有特性“+奇变性”（奇+奇=偶，偶+奇=奇）。奇*偶=偶，所以，x(x+3)必定为偶，x(x+3)+1为奇数。 阅读全文