总结——数论：乘法逆元

零 乘法逆元

　　对于缩系中的元素，每个数a均有唯一的与之对应的乘法逆元x，使得 ax≡1(mod n) 。
　　一个数有逆元的充分必要条件是 gcd(a,n)=1 ，此时逆元唯一存在。
　　逆元的含义：模 n 意义下，1个数 a 如果有逆元 x ，那么除以 a 相当于乘以 x 。

 

一 扩展欧几里得求逆元

　　将方程 ax=1(mod m) 转化为 ax+my=1 ，套用求一次不定方程的方法，用扩展欧几里得算法求得一组 x0,y0 和 gcd。一次不定发出有解的充要条件是 (a,n)|b ，所以当 gcd(a,m)=1 时逆元存在，即同余方程有唯一解 x0(mod n)。调整求出的 x0 在 [0,m-1] 的范围内即可。时间复杂度为O(ln n)。

typedef  long long ll;
void extgcd(ll a,ll b,ll& d,ll& x,ll& y){
    if(!b){ d=a; x=1; y=0;}
    else{ extgcd(b,a%b,d,y,x); y-=x*(a/b); }
}
ll inverse(ll a,ll n){
    ll d,x,y;
    extgcd(a,n,d,x,y);
    return d==1?(x+n)%n:-1;
}

 

二 费马小定理求逆元

　　费马小定理：对素数 P 和任意整数 A ，都有 A 的 (P-1) 次方取模与 P 等于 1 。

　　公式表示：A^P−1 ≡ 1 (mod P)（P为素数）　　　

　　费马小定理证明：http://blog.csdn.net/qq_35703773/article/details/78428127?readlog

　　求解逆元：当 P,A 互质时（P为素数），由 A^P−1 ≡ 1 (mod P) ，可推出 A·A^P-2≡ 1 (mod P) ，故 A^P-2 为 A 在模 P下的逆元，快速幂求即可。

 

三 欧拉定理求逆元（不要求 A,P 互质）

　　欧拉函数：对于一个正整数 n ，小于 n 且和 n 互质的正整数（包括 1）的个数，记作 φ(n) 。

　　欧拉函数性质：① 对于素数 p ，φ(p) = p -1 ② 若 gcd(p,q)=1 , φ(p*q) = (p -1) * (q -1) 

　　欧拉定理：对于互质的正整数 a 和 n ，有 a^φ(n)  ≡ 1 (mod n)  。欧拉定理证明。

　　求解逆元（通用求逆元方法）：由欧拉定理可知，a·a^φ(n)-1≡ 1 (mod n) ，故 a^φ(n)-1 是 a 的逆元。