总结——数论：欧几里得算法&扩展欧几里得

一欧几里得辗转相除法算法

　　设a=qb+r，其中a，b，q，r都是整数，则gcd(a,b)=gcd(b,r)，又因 r = a mod b，所以 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)。

　　证明：①证明充分性。

　　　　设 d 为 a,b 的公约数，记作 d|a , d|b ，即a和b都可以被d整除

　　　　又因 r=a-kb , 两边同时除以d，r/d=a/d-kb/d=m，由等式右边可知m为整数， d|r , 即 d 是 (b,a mod b)的公约数，

　　　　②证明必要性

　　　　设 d 为 b, a mod b 的公约数，则 d|b , d|r

　　　　又因 a=r+kb ，所以 d 为 a 的因子，即 d|a ，因此 d 是 a,b 的公约数。

　　　　综上，(a,b) 和 (b,a mod b) 的公约数一样，其最大公约数必然相等。

二扩展欧几里得算法

　　如果 gcd(a,b)=d , 那么一定存在整数 x,y 满足 ax+by=d.

　　求出 x,y 的值就表示定理成立。注意因为这是一个不定方程，所以解不只有一组。如果大家有相关证明可以留言讨论。x,y 值的求解：

　　　　设存在 ax+by=gcd(a,b)

　　　　根据欧几里得定理

　　可以看到，x,y 的值由 x',y' 得出。而 x',y' 又如何得到？递归。

　　重新来看看我们得到的两个等式。x 和 y 是

　　　　有整数解的条件：c|gcd(p,d)。

　　　　同余方程 ax≡b (mod n)对于未知数 x 有解，当且仅当 gcd(a,n) | b。且方程有解时，方程有 gcd(a,n) 个解。

　　　　求解方程 ax≡b (mod n) 相当于求解方程 ax+ ny= b(x, y为整数)

　　　　设 ax+ny=gcd(a,n) 的解为 x0,y0，则 ax+ny=b 的解为 x=x0*b/gcd(a,n)

　　　　要求其最小整数解，可根据同解x = x0 + n/gcd(a,n) * t;

　　　　设 s = n / gcd(a,n)，x%s得到最一个值x1,x1可能为负数，此时x%s还需要+s，加上s后可能就不是最小值了，所以还需要在对s取余

　　　　所以最小（整数）解为 x = (x % s + s) % s

同余方程ax≡b (mod n)，如果 gcd(a,n)== 1，则方程只有唯一解。在这种情况下，如果 b== 1，同余方程就是 ax=1 (mod n ),gcd(a,n)= 1。这时称求出的 x 为 a 的对模 n 乘法的逆元。

　　对于同余方程 ax= 1(mod n )， gcd(a,n)= 1 的求解就是求解方程 ax+ ny= 1，x, y 为整数。这个可用扩展欧几里德算法求出，原同余方程的唯一解就是用扩展欧几里德算法得出的 x 。

求 gcd(a,b) 的代码：

//递归
int gcd(int a,int b){
    return b==0?a:gcd(b,a%b);        
}

//迭代
int Gcd(int a, int b){
    while(b != 0){
    　　int r = b;
    　　b = a % b;
    　　a = r;
    }
    return a;
}

void exgcd(int a,int b,int & d,int & x,int & y){
    if (b==0) {x=1;y=0;d=a;return;}
    exgcd(b,a%b,d,y,x);
    y-=x*(a/b);
}

posted @ 2018-02-18 00:12 Travelller 阅读(374) 评论(0) 收藏举报

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