P6659 [POI 2019] Najmniejsza wspólna wielokrotność 题解

题意

给定一个整数 \(M\)，求是否存在一个区间 \([a,b]\) 使得 \(M\) 为 \([a,b]\) 这个区间中所有数的最小公倍数。

解题方法

1. 区间长度 \(= 2\)。

二分查找 \(a\)，由于相邻的两个数互质， \(lcm[a,b]\) 等于 \(a(a + 1)\)。

2. 区间长度 \(> 2\)

此时，发现 \(a\) 和 \(b\) 都不是很大，\(a\) 最大不超过 \(1.5 \times 10^6\)，可以接受直接预处理的时间复杂度。

因此，我们枚举左端点 \(a\)，向右进行累乘，直到最小公倍数大于 \(10^{18}\)。

可以用 map 进行左右端点的映射。

代码实现

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const long long inf = 1e18;
int n;
long long m;
map<long long, pair<int, int> > M;
long long gcd(long long x, long long y)
{
	return y ? gcd(y, x % y) : x;
}
void init()
{
	for (long long l = 1; l <= 1500000; l ++)
	{
		long long res = (long long)(l * (l + 1));
		for (int r = l + 2; ; r ++)
		{
			res /= gcd(res, r);
			if (res > inf / r) break;
			res *= r;
			if (!M.count(res)) M[res] = make_pair(l, r);
		}
	}
}
pair<int, int> search(long long x)
{
	int l = 1, r = 1e9;
	while (l <= r)
	{
		long long mid = l + r >> 1;
		if (mid * (mid + 1) > x) r = mid - 1;
		else if (mid * (mid + 1) < x) l = mid + 1;
		else return make_pair(mid, mid + 1);
	}
	return make_pair(0, 0);
}
int main()
{
	init();
	scanf("%d", &n);
	while (n --)
	{
		scanf("%lld", &m);
		pair<int, int> ans = M[m];
		if (ans.first)
		{
			printf("%d %d\n", ans.first, ans.second);
			continue;
		}
		ans = search(m);
		if (ans.first) printf("%d %d\n", ans.first, ans.second);
		else puts("NIE");
	}
}