数学基础

数学：

一:整除

概念：

如果 \(A\) 能整除 \(B\) 则记之为 \(A|B\) 即存在一个数 \(k \in Z\) 使 \(Ak = B\)。即 \(B\) 是 \(A\) 的倍数。

性质：

1. 如果 \(a|b,b|c\) 那么 \(a|c\) 表明整除具有传递性。

2. 如果 \(a|b,a|c\) 那么对于任意整数对 \((x,y)\) 满足 \(x \in Z,y \in Z\) 都有 \(a|bx+cy\)。

下面证明这两个性质。

证明性质1：

因为 \(a|b\)，所以 \(b = xa,x \in Z\)；
因为 \(b|c\)，所以 \(c = yb,y \in Z\)。
综上所以 \(c = yb\)，即 \(c = y\times (xa) = xya\)。
因为 \(x \in Z,y \in Z\)，所以 \(xy \in Z\)，所以 \(a|c\)。

证明性质2：

因为 \(a|b\) 所以 \(b = ka,k \in Z\)。
因为 \(a|c\) 所以 \(c = Ka,K \in Z\)。
因为对于任意整数对 \((x,y)\) 满足 \(x \in Z,y \in Z\) 所以 \(bx \in Z,cy \in Z\)。
综上；故：原式 \(bx + cy = kax + Kay\) 合并同类项得 \(bx + cy = a(kx + Ky)\)。
因为 \(k \in Z,x \in Z,K \in Z,y \in Z\)，所以 \(kx \in Z,Ky \in Z\)。
所以 \(kx + Ky \in Z\) 。
至此原式得：\(a|a\times (kx + Ky)\)
所以，对于任意整数对 \((x,y)\) 满足 \(x \in Z,y \in Z\) 都有 \(a|bx+cy\)。

证明题：

一：设 \(a|n,b|n\) 且存在整数 \(ax + by = 1\)，证明 \(ab|n\)。

证明：

因为 \(a|n,b|n\) 所以 \(n = ka,n = Kb,k \in Z,K \in Z\)。
因为 \(ax + by = 1\)，
所以 \(n = n\times (ax + by)\)；
即 \(n = nax + nby\)，
即 \(n = (Kb)ax + (ka)by\)，
即 \(n = Kabx + kaby\)，
即 \(n = ab(Kx + ky)\)；
因为 \(K \in Z,x \in Z,k \in Z,y \in Z\)，
所以 \(Kx \in Z,ky \in Z\)，
所以 \(Kx + ky \in Z\)，
所以 \(ab|n\)。

二：exgcd算法

形如求解 \(ax+by=c\) 知道 \(a,b,c\) 求解整数解 \(x,y\) 的值。
通常使用 exgcd 算法求解。
首先考虑无整数解的情况，根据贝祖定理，对于 \(a\in Z,b\in Z,c\in Z\) 如果有两个整数 \(x,y\) 满足 \(ax+by=c\) 那么 \(c=k\times\gcd(a,b),k\in Z\)。
即：如果 \(c\mod\gcd(a,b)!=0\) 那么就无解。
如果有解，那么：
令 \(ax+by=\gcd(a,b)\)，\(bx+(a\mod b)y=\gcd(b,a\mod b)\)。
因为 \(\gcd(a,b)=\gcd(b,a\mod b)\)。
所以 \(ax+by=bx+(a\mod b)y\)。
因为 \(a\mod b=a-\lfloor a/b\rfloor\times b\)。
所以原式为 \(ax+by=bx+(a-\lfloor a/b\rfloor\times b)y\)。
化简下得：\(ax+by=bx+ay-\lfloor a/b\rfloor by\)。
也就是 \(ax+by=b(x-\lfloor a/b\rfloor y)+ay\)。
所以 \(x=y,y=x-\lfloor a/b\rfloor y\)。
但是这么做只能求出 \(ax+by=\gcd(a,b)\) 的特解，并不能求出 \(ax+by=c\) 的特解，但是因为贝祖定理得 \(c=k\times\gcd(a,b),k\in Z\) 所以将两边同时乘 \(c/\gcd(a,b)\) 因为 \(c\mod\gcd(a,b)=0\) 所以 \(c/\gcd(a,b)\in Z\)。
又因为 \(x,y\in Z\) 所以 \(x\times(c/\gcd(a,b))\in Z\) 同理 \(y\times(c/\gcd(a,b))\in Z\)。所以不用担心是不是整数的问题。
模板题：
https://www.luogu.com.cn/problem/CF7C
代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef __int128 ll;
ll a,b,x,y,c;
 
ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
	if(!b){
		x=1,y=0;
		return a;
	}
	ll d=exgcd(b,a%b,x,y);
	ll t=x;
	x=y;
	y=t-(a/b)*y; 
	return d;
}
template<typename T>inline void rd(T&r){
	r=0;char c=getchar(),m=1;
	for(;!isdigit(c);c=getchar()){
		if(c=='-')m=-1;
	}
	for(;isdigit(c);c=getchar()){
		r=(r<<3)+(r<<1)+(c^48);
	}
	r*=m;
}
template<typename T>inline void wt(T r){
	if(r<0){
		putchar('-');wt(-r);return;
	}
	if(r>9) wt(r/10);
	putchar(r%10+'0');
}
int main(){
	rd(a);rd(b);rd(c);
	c=-c;
	ll g=exgcd(a,b,x,y);
	if(c%g){
		puts("-1");
		return 0;
	}
	ll t=c/g;
	wt(x*t);
	putchar(' ');
	wt(y*t);
	putchar('\n');
	return 0;
}