题解「TJOI2015 概率论」

设 \(g_n\) 为 \(n\) 个节点的二叉树所有情况下的叶子节点数和，\(f_n\) 为 \(n\) 个节点的二叉树的本质不同方案数。则我们断言 \(g_n=nf_{n-1}\)。

试图证明这一结论。

对于一棵有 \(a\) 个叶子节点的二叉树，分别删去 \(a\) 个叶子节点，可以得到 \(a\) 棵不同的 \(n-1\) 个节点的二叉树。我们标记这些 \(n-1\) 个节点的二叉树，则最终 \(g_n\) 的值就为所有 \(n-1\) 个节点的二叉树被标记的次数。

现在我们需要证明，任意一棵 \(n-1\) 个节点的二叉树，都会被标记 \(n\) 次。设只有 \(1\) 个儿子节点的点有 \(b\) 个，有 \(2\) 个儿子节点的点有 \(c\) 个。那么有：

\[\begin{cases} b+2c=n-1 \\ a+b+c=n \end{cases} \]

可以解得 \(2a+b=n+1\)。想一想，\(a\) 个叶子节点每个点可以接 \(2\) 个叶子，\(b\) 个只有一个儿子节点的点可以接 \(1\) 个叶子，也就是说：一棵 \(n\) 个点的树有 \(n+1\) 个不同的位置可以接叶子。换言之，任意一棵 \(n-1\) 个点的二叉树，都一定会被标记 \(n\) 次。

那么 \(f_n\) 怎么求呢？枚举左子树节点数，有：

\[f_n=\sum_{i=0}^{n-1}f_if_{n-i-1} \]

这不就是 \(Cat_n\) 么，直接通项求就好了。

最终答案 \(ans=\frac{nf_{n-1}}{f_n}=\frac{n(n+1)}{2(2n-1)}\)。