《编程之法：面试和算法心得》（第三章）
http://old.jscode.me/topic/196/%E7%BC%96%E7%A8%8B%E4%B9%8B%E6%B3%95-%E9%9D%A2%E8%AF%95%E5%92%8C%E7%AE%97%E6%B3%95%E5%BF%83%E5%BE%97-%E7%AC%AC%E4%B8%89%E7%AB%A0
第三章 树
本章导读
想要更好地理解红黑树，可以先理解二叉查找树和2-3树。为何呢？首先，二叉查找树中的结点是2-结点（一个键两条链），引入3-结点（两个键三条链），即成2-3树；然后将2-3树中3-结点分解，即成红黑树，故结合二叉查找树易查找和2-3树易插入的特点，便成了红黑二叉查找树，简称红黑树。
进一步而言，理解了2-3树，也就理解了B树、B+树、B*树，因为2-3树就是一棵3阶的B树，而一颗3阶的B树各个结点关键字数满足1-2，故当结点关键字数多于2时则达到饱和，此时需要分裂结点，而结点关键字数少于1时则从兄弟结点“借”关键字补充。
但为何有了红黑树，还要发明B树呢？原因是，当计算机要处理的数据量一大，便无法一次性装入内存进行处理，于此，计算机会把大部分备用的数据存在磁盘中，有需要的时候，就从磁盘中调取数据到在内存中处理，如果处理时修改了数据，则再次将数据写入磁盘，如此导致了不断的磁盘IO读写，而树的高度越高，查找文件所需要的磁盘IO读写次数越多，所以为了减少磁盘的IO读写，要想办法进一步降低树的高度。
因此，具有多个孩子的B树便应运而生，因为B树每一个结点可以有几个到几千个孩子，使得在结点数目一定的情况下，树的高度会大大降低，从而有效减少磁盘IO读写消耗。
此外，无论是B树，还是B+树、B树，由于根或者树的上面几层被反复查询，所以树上层几块的数据可以存在内存中。换言之，B树、B+树、B树的根结点和部分顶层数据存在内存中，大部分下层数据存在磁盘上。
3.1 教你透彻了解红黑树
二叉查找树
由于红黑树本质上就是一棵二叉查找树，所以在了解红黑树之前，咱们先来看下二叉查找树。
二叉查找树（Binary Search Tree），也称有序二叉树（ordered binary tree）,排序二叉树（sorted binary tree），是指一棵空树或者具有下列性质的二叉树：
- 若任意结点的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；
- 若任意结点的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；
- 任意结点的左、右子树也分别为二叉查找树。
- 没有键值相等的结点（no duplicate nodes）。
因为，一棵由n个结点，随机构造的二叉查找树的高度为lgn，所以顺理成章，一般操作的执行时间为O（lgn）.（至于n个结点的二叉树高度为lgn的证明，可参考算法导论 第12章 二叉查找树 第12.4节）。
但二叉树若退化成了一棵具有n个结点的线性链后，则此些操作最坏情况运行时间为O（n）。后面我们会看到一种基于二叉查找树-红黑树，它通过一些性质使得树相对平衡，使得最终查找、插入、删除的时间复杂度最坏情况下依然为O（lgn）。
红黑树
前面我们已经说过，红黑树，本质上来说就是一棵二叉查找树，但它在二叉查找树的基础上增加了着色和相关的性质使得红黑树相对平衡，从而保证了红黑树的查找、插入、删除的时间复杂度最坏为O(log n)。
但它是如何保证一棵n个结点的红黑树的高度始终保持在h = logn的呢？这就引出了红黑树的5条性质：
1）每个结点要么是红的，要么是黑的。
2）根结点是黑的。
3）每个叶结点（叶结点即指树尾端NIL指针或NULL结点）是黑的。
4）如果一个结点是红的，那么它的俩个儿子都是黑的。
5）对于任一结点而言，其到叶结点树尾端NIL指针的每一条路径都包含相同数目的黑结点。
正是红黑树的这5条性质，使得一棵n个结点是红黑树始终保持了logn的高度，从而也就解释了上面我们所说的“红黑树的查找、插入、删除的时间复杂度最坏为O(log n)”这一结论的原因。
如下图所示，即是一颗红黑树(下图引自wikipedia：http://t.cn/hgvH1l)：
上文中我们所说的 “叶结点” 或"NULL结点"，它不包含数据而只充当树在此结束的指示，这些结点以及它们的父结点，在绘图中都会经常被省略。
树的旋转知识
当我们在对红黑树进行插入和删除等操作时，对树做了修改，那么可能会违背红黑树的性质。
为了继续保持红黑树的性质，我们可以通过对结点进行重新着色，以及对树进行相关的旋转操作，即修改树中某些结点的颜色及指针结构，来达到对红黑树进行插入或删除结点等操作后，继续保持它的性质或平衡。
树的旋转，分为左旋和右旋，以下借助图来做形象的解释和介绍：
1.左旋
如上图所示：
当在某个结点pivot上，做左旋操作时，我们假设它的右孩子y不是NIL[T]，pivot可以为任何不是NIL[T]的左孩子结点。
左旋以pivot到y之间的链为“支轴”进行，它使y成为该孩子树新的根，而y的左孩子b则成为pivot的右孩子。
左旋操作的参考代码如下所示（以x代替上述的pivot）：
LEFT-ROTATE(T, x)
1 y ← right[x] ▹ Set y.
2 right[x] ← left[y] ▹ Turn y's left subtree into x's right subtree.
3 p[left[y]] ← x
4 p[y] ← p[x] ▹ Link x's parent to y.
5 if p[x] = nil[T]
6 then root[T] ← y
7 else if x = left[p[x]]
8 then left[p[x]] ← y
9 else right[p[x]] ← y
10 left[y] ← x ▹ Put x on y's left.
11 p[x] ← y
2.右旋
右旋与左旋差不多，再此不做详细介绍。
对于树的旋转，能保持不变的只有原树的搜索性质，而原树的红黑性质则不能保持，在红黑树的数据插入和删除后可利用旋转和颜色重涂来恢复树的红黑性质。
红黑树的插入
要真正理解红黑树的插入和删除，还得先理解二叉查找树的插入和删除。磨刀不误砍柴工，咱们再来分别了解下二叉查找树的插入和删除。
二叉查找树的插入
如果要在二叉查找树中插入一个结点，首先要查找到结点插入的位置，然后进行插入，假设插入的结点为z的话，插入的伪代码如下：
TREE-INSERT(T, z)
1 y ← NIL
2 x ← root[T]
3 while x ≠ NIL
4 do y ← x
5 if key[z] < key[x]
6 then x ← left[x]
7 else x ← right[x]
8 p[z] ← y
9 if y = NIL
10 then root[T] ← z ⊹ Tree T was empty
11 else if key[z] < key[y]
12 then left[y] ← z
13 else right[y] ← z
可以看到，上述第3-7行代码即是在二叉查找树中查找z待插入的位置，如果插入结点z小于当前遍历到的结点，则到当前结点的左子树中继续查找，如果z大于当前结点，则到当前结点的右子树中继续查找，第9-13行代码找到待插入的位置，如果z依然比此刻遍历到的新的当前结点小，则z作为当前结点的左孩子，否则作为当前结点的右孩子。
红黑树的插入和插入修复
现在我们了解了二叉查找树的插入，接下来，咱们便来具体了解红黑树的插入操作。红黑树的插入相当于在二叉查找树插入的基础上，为了重新恢复平衡，继续做了插入修复操作。
假设插入的结点为z，红黑树的插入伪代码具体如下所示：
RB-INSERT(T, z)
1 y ← nil[T]
2 x ← root[T]
3 while x ≠ nil[T]
4 do y ← x
5 if key[z] < key[x]
6 then x ← left[x]
7 else x ← right[x]
8 p[z] ← y
9 if y = nil[T]
10 then root[T] ← z
11 else if key[z] < key[y]
12 then left[y] ← z
13 else right[y] ← z
14 left[z] ← nil[T]
15 right[z] ← nil[T]
16 color[z] ← RED
17 RB-INSERT-FIXUP(T, z)
我们把上面这段红黑树的插入代码，跟我们之前看到的二叉查找树的插入代码，可以看出，RB-INSERT(T, z)前面的第1-13行代码基本就是二叉查找树的插入代码，然后第14-16行代码把z的左孩子、右孩子都赋为叶结点nil，再把z结点着为红色，最后为保证红黑性质在插入操作后依然保持，调用一个辅助程序RB-INSERT-FIXUP来对结点进行重新着色，并旋转。
换言之
- 如果插入的是根结点，因为原树是空树，此情况只会违反性质2，所以直接把此结点涂为黑色。
- 如果插入的结点的父结点是黑色，由于此不会违反性质2和性质4，红黑树没有被破坏，所以此时也是什么也不做。
但当遇到下述3种情况时：
- 插入修复情况1：如果当前结点的父结点是红色且祖父结点的另一个子结点（叔叔结点）是红色
- 插入修复情况2：当前结点的父结点是红色,叔叔结点是黑色，当前结点是其父结点的右子
- 插入修复情况3：当前结点的父结点是红色,叔叔结点是黑色，当前结点是其父结点的左子
又该如何调整呢？答案就是根据红黑树插入代码RB-INSERT(T, z)最后一行调用的RB-INSERT-FIXUP（T,z）所示操作进行，具体如下所示：
RB-INSERT-FIXUP（T,z）
1 while color[p[z]] = RED
2 do if p[z] = left[p[p[z]]]
3 then y ← right[p[p[z]]]
4 if color[y] = RED
5 then color[p[z]] ← BLACK ▹ Case 1
6 color[y] ← BLACK ▹ Case 1
7 color[p[p[z]]] ← RED ▹ Case 1
8 z ← p[p[z]] ▹ Case 1
9 else if z = right[p[z]]
10 then z ← p[z] ▹ Case 2
11 LEFT-ROTATE(T, z) ▹ Case 2
12 color[p[z]] ← BLACK ▹ Case 3
13 color[p[p[z]]] ← RED ▹ Case 3
14 RIGHT-ROTATE(T, p[p[z]]) ▹ Case 3
15 else (same as then clause
with "right" and "left" exchanged)
16 color[root[T]] ← BLACK
下面，咱们来分别处理上述3种插入修复情况。
插入修复情况1：当前结点的父结点是红色且祖父结点的另一个子结点（叔叔结点）是红色。
即如下代码所示：
1 while color[p[z]] = RED
2 do if p[z] = left[p[p[z]]]
3 then y ← right[p[p[z]]]
4 if color[y] = RED
此时父结点的父结点一定存在，否则插入前就已不是红黑树。
与此同时，又分为父结点是祖父结点的左子还是右子，对于对称性，我们只要解开一个方向就可以了。
在此，我们只考虑父结点为祖父左子的情况。
同时，还可以分为当前结点是其父结点的左子还是右子，但是处理方式是一样的。我们将此归为同一类。
对策：将当前结点的父结点和叔叔结点涂黑，祖父结点涂红，把当前结点指向祖父结点，从新的当前结点重新开始算法。即如下代码所示：
5 then color[p[z]] ← BLACK ▹ Case 1
6 color[y] ← BLACK ▹ Case 1
7 color[p[p[z]]] ← RED ▹ Case 1
8 z ← p[p[z]] ▹ Case 1
针对情况1，变化前（图片来源：saturnman）[当前结点为4结点]：
变化后：
插入修复情况2：当前结点的父结点是红色,叔叔结点是黑色，当前结点是其父结点的右子
对策：当前结点的父结点做为新的当前结点，以新当前结点为支点左旋。即如下代码所示：
9 else if z = right[p[z]]
10 then z ← p[z] ▹ Case 2
11 LEFT-ROTATE(T, z) ▹ Case 2
如下图所示，变化前[当前结点为7结点]：
变化后：
插入修复情况3：当前结点的父结点是红色,叔叔结点是黑色，当前结点是其父结点的左子
解法：父结点变为黑色，祖父结点变为红色，在祖父结点为支点右旋，操作代码为：
12 color[p[z]] ← BLACK ▹ Case 3
13 color[p[p[z]]] ← RED ▹ Case 3
14 RIGHT-ROTATE(T, p[p[z]]) ▹ Case 3
最后，把根结点涂为黑色，整棵红黑树便重新恢复了平衡。
如下图所示[当前结点为2结点]
变化后：
红黑树的删除
ok，接下来，咱们最后来了解，红黑树的删除操作。
"我们删除的结点的方法与常规二叉搜索树中删除结点的方法是一样的，如果被删除的结点不是有双非空子女，则直接删除这个结点，用它的唯一子结点顶替它的位置，如果它的子结点分是空结点，那就用空结点顶替它的位置，如果它的双子全为非空，我们就把它的直接后继结点内容复制到它的位置，之后以同样的方式删除它的后继结点，它的后继结点不可能是双子非空，因此此传递过程最多只进行一次。”
二叉查找树的删除
继续讲解之前，补充说明下二叉树结点删除的几种情况，待删除的结点按照儿子的个数可以分为三种：
- 没有儿子，即为叶结点。直接把父结点的对应儿子指针设为NULL，删除儿子结点就OK了。
- 只有一个儿子。那么把父结点的相应儿子指针指向儿子的独生子，删除儿子结点也OK了。
- 有两个儿子。这是最麻烦的情况，因为你删除结点之后，还要保证满足搜索二叉树的结构。其实也比较容易，我们可以选择左儿子中的最大元素或者右儿子中的最小元素放到待删除结点的位置，就可以保证结构的不变。当然，你要记得调整子树，毕竟又出现了结点删除。习惯上大家选择左儿子中的最大元素，其实选择右儿子的最小元素也一样，没有任何差别，只是人们习惯从左向右。这里咱们也选择左儿子的最大元素，将它放到待删结点的位置。左儿子的最大元素其实很好找，只要顺着左儿子不断的去搜索右子树就可以了，直到找到一个没有右子树的结点。那就是最大的了。
二叉查找树的删除代码如下所示：
TREE-DELETE(T, z)
1 if left[z] = NIL or right[z] = NIL
2 then y ← z
3 else y ← TREE-SUCCESSOR(z)
4 if left[y] ≠ NIL
5 then x ← left[y]
6 else x ← right[y]
7 if x ≠ NIL
8 then p[x] ← p[y]
9 if p[y] = NIL
10 then root[T] ← x
11 else if y = left[p[y]]
12 then left[p[y]] ← x
13 else right[p[y]] ← x
14 if y ≠ z
15 then key[z] ← key[y]
16 copy y's satellite data into z
17 return y
红黑树的删除和删除修复
OK，回到红黑树上来，红黑树结点删除的算法实现是：
RB-DELETE(T, z) 单纯删除结点的总操作
1 if left[z] = nil[T] or right[z] = nil[T]
2 then y ← z
3 else y ← TREE-SUCCESSOR(z)
4 if left[y] ≠ nil[T]
5 then x ← left[y]
6 else x ← right[y]
7 p[x] ← p[y]
8 if p[y] = nil[T]
9 then root[T] ← x
10 else if y = left[p[y]]
11 then left[p[y]] ← x
12 else right[p[y]] ← x
13 if y ≠ z
14 then key[z] ← key[y]
15 copy y's satellite data into z
16 if color[y] = BLACK
17 then RB-DELETE-FIXUP(T, x)
18 return y
“在删除结点后，原红黑树的性质可能被改变，如果删除的是红色结点，那么原红黑树的性质依旧保持，此时不用做修正操作，如果删除的结点是黑色结点，原红黑树的性质可能会被改变，我们要对其做修正操作。那么哪些树的性质会发生变化呢，如果删除结点不是树唯一结点，那么删除结点的那一个支的到各叶结点的黑色结点数会发生变化，此时性质5被破坏。如果被删结点的唯一非空子结点是红色，而被删结点的父结点也是红色，那么性质4被破坏。如果被删结点是根结点，而它的唯一非空子结点是红色，则删除后新根结点将变成红色，违背性质2。”
RB-DELETE-FIXUP(T, x) 恢复与保持红黑性质的工作
1 while x ≠ root[T] and color[x] = BLACK
2 do if x = left[p[x]]
3 then w ← right[p[x]]
4 if color[w] = RED
5 then color[w] ← BLACK ▹ Case 1
6 color[p[x]] ← RED ▹ Case 1
7 LEFT-ROTATE(T, p[x]) ▹ Case 1
8 w ← right[p[x]] ▹ Case 1
9 if color[left[w]] = BLACK and color[right[w]] = BLACK
10 then color[w] ← RED ▹ Case 2
11 x ← p[x] ▹ Case 2
12 else if color[right[w]] = BLACK
13 then color[left[w]] ← BLACK ▹ Case 3
14 color[w] ← RED ▹ Case 3
15 RIGHT-ROTATE(T, w) ▹ Case 3
16 w ← right[p[x]] ▹ Case 3
17 color[w] ← color[p[x]] ▹ Case 4
18 color[p[x]] ← BLACK ▹ Case 4
19 color[right[w]] ← BLACK ▹ Case 4
20 LEFT-ROTATE(T, p[x]) ▹ Case 4
21 x ← root[T] ▹ Case 4
22 else (same as then clause with "right" and "left" exchanged)
23 color[x] ← BLACK
“上面的修复情况看起来有些复杂，下面我们用一个分析技巧：我们从被删结点后来顶替它的那个结点开始调整，并认为它有额外的一重黑色。这里额外一重黑色是什么意思呢，我们不是把红黑树的结点加上除红与黑的另一种颜色，这里只是一种假设，我们认为我们当前指向它，因此空有额外一种黑色，可以认为它的黑色是从它的父结点被删除后继承给它的，它现在可以容纳两种颜色，如果它原来是红色，那么现在是红+黑，如果原来是黑色，那么它现在的颜色是黑+黑。有了这重额外的黑色，原红黑树性质5就能保持不变。现在只要恢复其它性质就可以了，做法还是尽量向根移动和穷举所有可能性。"–saturnman。
如果是以下情况，恢复比较简单：
- a)当前结点是红+黑色
解法，直接把当前结点染成黑色，结束此时红黑树性质全部恢复。 ![b)]( "b)")
当前结点是黑+黑且是根结点，
解法：什么都不做，结束。
但如果是以下情况呢？：
- 删除修复情况1：当前结点是黑+黑且兄弟结点为红色(此时父结点和兄弟结点的子结点分为黑)
- 删除修复情况2：当前结点是黑加黑且兄弟是黑色且兄弟结点的两个子结点全为黑色
- 删除修复情况3：当前结点颜色是黑+黑，兄弟结点是黑色，兄弟的左子是红色，右子是黑色
- 删除修复情况4：当前结点颜色是黑-黑色，它的兄弟结点是黑色，但是兄弟结点的右子是红色，兄弟结点左子的颜色任意
此时，我们需要调用RB-DELETE-FIXUP(T, x)，来恢复与保持红黑性质的工作。
下面，咱们便来分别处理这4种删除修复情况。
删除修复情况1：当前结点是黑+黑且兄弟结点为红色(此时父结点和兄弟结点的子结点分为黑)。
解法：把父结点染成红色，把兄弟结点染成黑色，之后重新进入算法（我们只讨论当前结点是其父结点左孩子时的情况）。此变换后原红黑树性质5不变，而把问题转化为兄弟结点为黑色的情况(注：变化前，原本就未违反性质5，只是为了把问题转化为兄弟结点为黑色的情况)。 即如下代码操作：
//调用RB-DELETE-FIXUP(T, x) 的1-8行代码
1 while x ≠ root[T] and color[x] = BLACK
2 do if x = left[p[x]]
3 then w ← right[p[x]]
4 if color[w] = RED
5 then color[w] ← BLACK ▹ Case 1
6 color[p[x]] ← RED ▹ Case 1
7 LEFT-ROTATE(T, p[x]) ▹ Case 1
8 w ← right[p[x]] ▹ Case 1
变化前：
变化后：
删除修复情况2：当前结点是黑加黑且兄弟是黑色且兄弟结点的两个子结点全为黑色。
解法：把当前结点和兄弟结点中抽取一重黑色追加到父结点上，把父结点当成新的当前结点，重新进入算法。（此变换后性质5不变），即调用RB-INSERT-FIXUP(T, z) 的第9-10行代码操作，如下：
//调用RB-DELETE-FIXUP(T, x) 的9-11行代码
9 if color[left[w]] = BLACK and color[right[w]] = BLACK
10 then color[w] ← RED ▹ Case 2
11 x p[x] ▹ Case 2
变化前：
变化后：
删除修复情况3：当前结点颜色是黑+黑，兄弟结点是黑色，兄弟的左子是红色，右子是黑色。
解法：把兄弟结点染红，兄弟左子结点染黑，之后再在兄弟结点为支点解右旋，之后重新进入算法。此是把当前的情况转化为情况4，而性质5得以保持，即调用RB-INSERT-FIXUP(T, z) 的第12-16行代码，如下所示：
//调用RB-DELETE-FIXUP(T, x) 的第12-16行代码
12 else if color[right[w]] = BLACK
13 then color[left[w]] ← BLACK ▹ Case 3
14 color[w] ← RED ▹ Case 3
15 RIGHT-ROTATE(T, w) ▹ Case 3
16 w ← right[p[x]] ▹ Case 3
变化前：
变化后：
删除修复情况4：当前结点颜色是黑-黑色，它的兄弟结点是黑色，但是兄弟结点的右子是红色，兄弟结点左子的颜色任意。
解法：把兄弟结点染成当前结点父结点的颜色，把当前结点父结点染成黑色，兄弟结点右子染成黑色，之后以当前结点的父结点为支点进行左旋，此时算法结束，红黑树所有性质调整正确，即调用RB-INSERT-FIXUP(T, z)的第17-21行代码，如下所示：
//调用RB-DELETE-FIXUP(T, x) 的第17-21行代码
17 color[w] ← color[p[x]] ▹ Case 4
18 color[p[x]] ← BLACK ▹ Case 4
19 color[right[w]] ← BLACK ▹ Case 4
20 LEFT-ROTATE(T, p[x]) ▹ Case 4
21 x ← root[T] ▹ Case 4
变化前：
变化后：
本文参考
本文参考了算法导论、STL源码剖析、计算机程序设计艺术等资料，并推荐阅读这个PDF：Left-Leaning Red-Black Trees, Dagstuhl Workshop on Data Structures, Wadern, Germany, February, 2008.
下载地址：http://www.cs.princeton.edu/~rs/talks/LLRB/RedBlack.pdf。
3.2 “B树”
1.前言：
动态查找树主要有：二叉查找树（Binary Search Tree），平衡二叉查找树（Balanced Binary Search Tree），红黑树(Red-Black Tree )，B-tree/B±tree/ B*-tree (B~Tree)。前三者是典型的二叉查找树结构，其查找的时间复杂度O(log2N)与树的深度相关，那么降低树的深度自然会提高查找效率。
但是咱们有面对这样一个实际问题：就是大规模数据存储中，实现索引查询这样一个实际背景下，树节点存储的元素数量是有限的（如果元素数量非常多的话，查找就退化成节点内部的线性查找了），这样导致二叉查找树结构由于树的深度过大而造成磁盘I/O读写过于频繁，进而导致查询效率低下，因此我们该想办法降低树的深度，从而减少磁盘查找存取的次数。一个基本的想法就是：采用多叉树结构（由于树节点元素数量是有限的，自然该节点的子树数量也就是有限的）。
这样我们就提出了一个新的查找树结构——平衡多路查找树，即B-tree（B-tree树即B树*，B即Balanced，平衡的意思**）**，这棵神奇的树是在Rudolf Bayer, Edward M. McCreight(1970)写的一篇论文《Organization and Maintenance of Large Ordered Indices》中首次提出的。
后面我们会看到，B树的各种操作能使B树保持较低的高度，从而有效避免磁盘过于频繁的查找存取操作，达到有效提高查找效率的目的。然在开始介绍B~tree之前，先了解下相关的硬件知识，才能很好的了解为什么需要B~tree这种外存数据结构。
2.外存储器—磁盘
计算机存储设备一般分为两种：内存储器(main memory)和外存储器(external memory)。 内存存取速度快，但容量小，价格昂贵，而且不能长期保存数据(在不通电情况下数据会消失)。
外存储器—磁盘是一种直接存取的存储设备(DASD)。它是以存取时间变化不大为特征的。可以直接存取任何字符组，且容量大、速度较其它外存设备更快。
2.1 磁盘的构造
磁盘是一个扁平的圆盘(与电唱机的唱片类似)。盘面上有许多称为磁道的圆圈，数据就记录在这些磁道上。磁盘可以是单片的，也可以是由若干盘片组成的盘组，每一盘片上有两个面。如下图11.3中所示的6片盘组为例，除去最顶端和最底端的外侧面不存储数据之外，一共有10个面可以用来保存信息。
当磁盘驱动器执行读/写功能时。盘片装在一个主轴上，并绕主轴高速旋转，当磁道在读/写头(又叫磁头) 下通过时，就可以进行数据的读 / 写了。
一般磁盘分为固定头盘(磁头固定)和活动头盘。固定头盘的每一个磁道上都有独立的磁头，它是固定不动的，专门负责这一磁道上数据的读/写。
活动头盘 (如上图)的磁头是可移动的。每一个盘面上只有一个磁头(磁头是双向的，因此正反盘面都能读写)。它可以从该面的一个磁道移动到另一个磁道。所有磁头都装在同一个动臂上，因此不同盘面上的所有磁头都是同时移动的(行动整齐划一)。当盘片绕主轴旋转的时候，磁头与旋转的盘片形成一个圆柱体。各个盘面上半径相同的磁道组成了一个圆柱面，我们称为柱面 。因此，柱面的个数也就是盘面上的磁道数。
2.2 磁盘的读/写原理和效率
磁盘上数据必须用一个三维地址唯一标示：柱面号、盘面号、块号(磁道上的盘块)。
读/写磁盘上某一指定数据需要下面3个步骤：
- 首先移动臂根据柱面号使磁头移动到所需要的柱面上，这一过程被称为定位或查找 。
- 如上图11.3中所示的6盘组示意图中，所有磁头都定位到了10个盘面的10条磁道上(磁头都是双向的)。这时根据盘面号来确定指定盘面上的磁道。
- 盘面确定以后，盘片开始旋转，将指定块号的磁道段移动至磁头下。
经过上面三个步骤，指定数据的存储位置就被找到。这时就可以开始读/写操作了。
访问某一具体信息，由3部分时间组成：
- 查找时间(seek time) Ts: 完成上述步骤(1)所需要的时间。这部分时间代价最高，最大可达到0.1s左右。
- 等待时间(latency time) Tl: 完成上述步骤(3)所需要的时间。由于盘片绕主轴旋转速度很快，一般为7200转/分(电脑硬盘的性能指标之一, 家用的普通硬盘的转速一般有5400rpm(笔记本)、7200rpm几种)。因此一般旋转一圈大约0.0083s。
- 传输时间(transmission time) Tt: 数据通过系统总线传送到内存的时间，一般传输一个字节(byte)大概0.02us=2*10^(-8)s
磁盘读取数据是以盘块(block)为基本单位的。位于同一盘块中的所有数据都能被一次性全部读取出来。而磁盘IO代价主要花费在查找时间Ts上。因此我们应该尽量将相关信息存放在同一盘块，同一磁道中。或者至少放在同一柱面或相邻柱面上，以求在读/写信息时尽量减少磁头来回移动的次数，避免过多的查找时间Ts。
所以，在大规模数据存储方面，大量数据存储在外存磁盘中，而在外存磁盘中读取/写入块(block)中某数据时，首先需要定位到磁盘中的某块，如何有效地查找磁盘中的数据，需要一种合理高效的外存数据结构，就是下面所要重点阐述的B-tree结构，以及相关的变种结构：B±tree结构和B*-tree结构。
3.B- 树
3.1 什么是B-树
B-树，即为B树。顺便说句，因为B树的原英文名称为B-tree，而国内很多人喜欢把B-tree译作B-树，其实，这是个非常不好的直译，很容易让人产生误解。如人们可能会以为B-树是一种树，而B树又是另外一种树。而事实上是，B-tree就是指的B树。
我们知道，B 树是为了磁盘或其它存储设备而设计的一种多叉（下面你会看到，相对于二叉，B树每个内结点有多个分支，即多叉）平衡查找树。与之前介绍的红黑树很相似，但在降低磁盘I/0操作方面要更好一些。许多数据库系统都一般使用B树或者B树的各种变形结构，如下文即将要介绍的B+树，B*树来存储信息。
B树与红黑树最大的不同在于，B树的结点可以有许多子女，从几个到几千个。不过B树与红黑树一样，一棵含n个结点的B树的高度也为O(lgn)，但可能比一棵红黑树的高度小许多，因为它的分支因子比较大。所以，B树可以在O（logn）时间内，实现各种如插入（insert），删除（delete）等动态集合操作。
如下图所示，即是一棵B树，一棵关键字为英语中辅音字母的B树，现在要从树中查找字母R（包含n[x]个关键字的内结点x，x有n[x]+1个子女（也就是说，一个内结点x若含有n[x]个关键字，那么x将含有n[x]+1个子女）。所有的叶结点都处于相同的深度，带阴影的结点为查找字母R时要检查的结点）：
相信，从上图你能轻易的看到，一个内结点x若含有n[x]个关键字，那么x将含有n[x]+1个子女。如含有2个关键字D H的内结点有3个子女，而含有3个关键字Q T X的内结点有4个子女。
B树的定义
B 树又叫平衡多路查找树。一棵m阶的B 树 (注：切勿简单的认为一棵m阶的B树是m叉树，虽然存在四叉树，八叉树，KD树，及vp/R树/R*树/R+树/X树/M树/线段树/希尔伯特R树/优先R树等空间划分树，但与B树完全不等同)的特性如下：
- 树中每个结点最多含有m个孩子（m>=2）；
- 除根结点和叶子结点外，其它每个结点至少有[ceil(m / 2)]个孩子（其中ceil(x)是一个取上限的函数）；
- 根结点至少有2个孩子（除非B树只包含一个结点：根结点）；
- 所有叶子结点都出现在同一层，叶子结点不包含任何关键字信息(可以看做是外部结点或查询失败的结点，指向这些结点的指针都为null)；（注：叶子节点只是没有孩子和指向孩子的指针，这些节点也存在，也有元素。类似红黑树中，每一个NULL指针即当做叶子结点，只是没画出来而已）。
- 每个非终端结点中包含有n个关键字信息： (n，P0，K1，P1，K2，P2，…，Kn，Pn)。其中：
a) Ki (i=1…n)为关键字，且关键字按顺序升序排序K(i-1)< Ki。![b)]( "b)")
Pi为指向子树根的结点，且指针P(i-1)指向子树种所有结点的关键字均小于Ki，但都大于K(i-1)。
c) 关键字的个数n必须满足： [ceil(m / 2)-1]<= n <= m-1。比如有j个孩子的非叶结点恰好有j-1个关键码。
B树中的每个结点根据实际情况可以包含大量的关键字信息和分支(当然是不能超过磁盘块的大小，根据磁盘驱动(disk drives)的不同，一般块的大小在1k~4k左右)；这样树的深度降低了，这就意味着查找一个元素只要很少结点从外存磁盘中读入内存，很快访问到要查找的数据。
3.2 B树的类型和节点定义
B树的类型和节点定义如下图所示：
3.3 文件查找的具体过程(涉及磁盘IO操作)
为了简单，这里用少量数据构造一棵3叉树的形式，实际应用中的B树结点中关键字很多的。上面的图中比如根结点，其中17表示一个磁盘文件的文件名；小红方块表示这个17文件内容在硬盘中的存储位置；p1表示指向17左子树的指针。
其结构可以简单定义为：
typedef struct {
/*文件数*/
int file_num;
/*文件名(key)*/
char * file_name[max_file_num];
/*指向子节点的指针*/
BTNode * BTptr[max_file_num+1];
/*文件在硬盘中的存储位置*/
FILE_HARD_ADDR offset[max_file_num];
}BTNode;
假如每个盘块可以正好存放一个B树的结点（正好存放2个文件名）。那么一个BTNODE结点就代表一个盘块，而子树指针就是存放另外一个盘块的地址。
下面，咱们来模拟下查找文件29的过程：
- 根据根结点指针找到文件目录的根磁盘块1，将其中的信息导入内存。【磁盘IO操作 1次】
- 此时内存中有两个文件名17、35和三个存储其他磁盘页面地址的数据。根据算法我们发现：17<29<35，因此我们找到指针p2。
- 根据p2指针，我们定位到磁盘块3，并将其中的信息导入内存。【磁盘IO操作 2次】
- 此时内存中有两个文件名26，30和三个存储其他磁盘页面地址的数据。根据算法我们发现：26<29<30，因此我们找到指针p2。
- 根据p2指针，我们定位到磁盘块8，并将其中的信息导入内存。【磁盘IO操作 3次】
- 此时内存中有两个文件名28，29。根据算法我们查找到文件名29，并定位了该文件内存的磁盘地址。
分析上面的过程，发现需要3次磁盘IO操作和3次内存查找操作。关于内存中的文件名查找，由于是一个有序表结构，可以利用折半查找提高效率。至于IO操作是影响整个B树查找效率的决定因素。
当然，如果我们使用平衡二叉树的磁盘存储结构来进行查找，磁盘4次，最多5次，而且文件越多，B树比平衡二叉树所用的磁盘IO操作次数将越少，效率也越高。
3.4 B树的高度
根据上面的例子我们可以看出，对于辅存做IO读的次数取决于B树的高度。而B树的高度又怎么求呢？
对于一棵含有N个关键字，m阶的B树来说（据B树的定义可知：m满足：ceil(m/2)<=m<=m，m阶即代表树中任一结点最多含有m个孩子，如5阶代表每个结点最多5个孩子，或俗称5叉树），且从1开始计数的话，其高度h为：
这个B树的高度公式从侧面显示了B树的查找效率是相当高的。为什么呢？因为底数m/2可以取很大，如m可以达到几千，从而在关键字数一定的情况下，使得最终的h值尽量比较小，树的高度比较低。
树的高度降低了，磁盘存取的次数也随着树高度的降低而减少，从而使得存取性能也相应提升。
4、B树的插入、删除操作
根据B树的性质可知，如果是一棵m阶的B 树，那么有：
- 树中每个结点含有最多含有m个孩子，即m满足：ceil(m/2)<=m<=m。
- 除根结点和叶子结点外，其它每个结点至少有[ceil(m / 2)]个孩子（其中ceil(x)是一个取上限的函数）；
- 除根结点之外的结点的关键字的个数n必须满足： [ceil(m / 2)-1]<= n <= m-1（叶子结点也必须满足此条关于关键字数的性质）。
下面咱们通过另外一个实例来对这棵B树的插入（insert）,删除（delete）基本操作进行详细的介绍。以一棵5阶（即树中任一结点至多含有4个关键字，5棵子树）B树实例进行讲解(如下图所示)：
在上图所示的一棵5阶B树中，读者可以看到关键字数2-4个，内结点孩子数3-5个。**关键字数（2-4个）针对包括叶子结点在内的非根结点，孩子数（3-5个）则针对根结点和叶子结点之外的内结点。同时，根结点是必须至少有2个孩子的，不然就成直线型搜索树了。**且关键字为大写字母，顺序为字母升序。
结点定义如下：
typedef struct{
int Count; // 当前节点中关键元素数目
ItemType Key[4]; // 存储关键字元素的数组
long Branch[5]; // 伪指针数组，(记录数目)方便判断合并和分裂的情况
} NodeType;
4.1 插入（insert）操作
针对一棵高度为h的m阶B树，插入一个元素时，首先在B树中是否存在，如果不存在，一般在叶子结点中插入该新的元素，此时分3种情况：
- 如果叶子结点空间足够，即该结点的关键字数小于m-1，则直接插入在叶子结点的左边或右边；
- 如果空间满了以致没有足够的空间去添加新的元素，即该结点的关键字数已经有了m个，则需要将该结点进行“分裂”，将一半数量的关键字元素分裂到新的其相邻右结点中，中间关键字元素上移到父结点中，而且当结点中关键元素向右移动了，相关的指针也需要向右移。
- 此外，如果在上述中间关键字上移到父结点的过程中，导致根结点空间满了，那么根结点也要进行分裂操作，这样原来的根结点中的中间关键字元素向上移动到新的根结点中，因此导致树的高度增加一层。
下面咱们通过一个实例来逐步讲解下。插入以下字符字母到一棵空的5阶B 树中：C N G A H E K Q M F W L T Z D P R X Y S，而且，因为是5阶B树，所以必有非根结点关键字数小了（小于2个）就合并，大了（超过4个）就分裂。
- 首先，结点空间足够，刚开始的4个字母可以直接到插入相同的结点中，如下图：
- 插入H结点时，发现结点空间不够，所以将其分裂成2个结点，移动中间元素G上移到新的根结点中，且把A和C留在当前结点中，而H和N放置在新的右邻居结点中。如下图：
- 当插入E,K,Q时，不需要任何分裂操作
- 插入M需要一次分裂，注意到M恰好是中间关键字元素，所以M向上移到父节点中
- 插入F,W,L,T不需要任何分裂操作
- 插入Z时，最右的叶子结点空间满了，需要进行分裂操作，中间元素T上移到父节点中
- 插入D时，导致最左边的叶子结点被分裂，D恰好也是中间元素，上移到父节点中，然后字母P,R,X,Y直接陆续插入，不需要任何分裂操作
- 最后，当插入S时，含有N,P,Q,R的结点需要分裂，把中间元素Q上移到父节点中，但是问题来了，因为Q上移导致父结点 “D G M T” 也满了，所以也要进行分裂，将父结点中的中间元素M上移到新形成的根结点中，从而致使树的高度增加一层。
4.2、删除(delete)操作
下面介绍删除操作，删除操作相对于插入操作要考虑的情况多点。
- 首先查找B树中需删除的元素,如果该元素在B树中存在，则将该元素在其结点中进行删除，如果删除该元素后，首先判断该元素是否有左右孩子结点
- 如果有，则上移孩子结点中的某相近元素(“左孩子最右边的节点”或“右孩子最左边的节点”)到父节点中，然后是移动之后的情况；
- 如果没有，直接删除后，移动之后的情况。
删除元素，移动相应元素之后，如果某结点中元素数目（即关键字数）小于ceil(m/2)-1，则需要看其某相邻兄弟结点是否丰满（结点中元素个数大于ceil(m/2)-1）
- 如果丰满，则向父节点借一个元素来满足条件；
- 如果其相邻兄弟都刚脱贫，即借了之后其结点数目小于ceil(m/2)-1，则该结点与其相邻的某一兄弟结点进行“合并”成一个结点，以此来满足条件。
下面咱们还是以上述插入操作构造的一棵5阶B树（树中除根结点和叶子结点外的任意结点的孩子数m满足3<=m<=5，除根结点外的任意结点的关键字数n满足：2<=n<=4，所以关键字数小于2个就合并，超过4个就分裂）为例，依次删除H,T,R,E。
- 首先删除元素H，当然首先查找H，H在一个叶子结点中，且该叶子结点元素数目3大于最小元素数目ceil(m/2)-1=2，则操作很简单，咱们只需要移动K至原来H的位置，移动L至K的位置（也就是结点中删除元素后面的元素向前移动）
- 下一步，删除T,因为T没有在叶子结点中，而是在中间结点中找到，咱们发现他的继承者W(字母升序的下个元素)，将W上移到T的位置，然后将原包含W的孩子结点中的W进行删除，这里恰好删除W后，该孩子结点中元素个数大于2，无需进行合并操作。
- 下一步删除R，R在叶子结点中,但是该结点中元素数目为2，删除导致只有1个元素，已经小于最小元素数目ceil(5/2)-1=2,而由前面我们已经知道：如果其某个相邻兄弟结点中比较丰满（元素个数大于ceil(5/2)-1=2），则可以向父结点借一个元素，然后将最丰满的相邻兄弟结点中上移最后或最前一个元素到父节点中（有没有看到红黑树中左旋操作的影子?）。
故在这个实例中，由于右相邻兄弟结点“X Y Z”比较丰满，而删除元素R后，导致“S”结点稀缺
- 所以原来的的“R S”结点先向父节点借一个元素W下移到该叶子结点中，代替原来S的位置，S前移；
- 然后相邻右兄弟结点中的X上移到父结点中；
- 最后相邻右兄弟结点中元素Y和Z前移。
- 最后一步删除E， 删除后会导致很多问题，因为E所在的结点数目刚好达标，刚好满足最小元素个数（ceil(5/2)-1=2）,而相邻的兄弟结点也是同样的情况，删除一个元素都不能满足条件，所以需要该节点与某相邻兄弟结点进行合并操作；
- 首先移动父结点中的元素（该元素在两个需要合并的两个结点元素之间）下移到其子结点中，
- 然后将这两个结点进行合并成一个结点。所以在该实例中，咱们首先将父节点中的元素D下移到已经删除E而只有F的结点中，然后将含有D和F的结点和含有A,C的相邻兄弟结点进行合并成一个结点。
也许你认为这样删除操作已经结束了，其实不然，在看看上图，对于这种特殊情况，你立即会发现父节点只包含一个元素G，没达标（因为非根节点包括叶子结点的关键字数n必须满足于2=<n<=4，而此处的n=1），这是不能够接受的。如果这个问题结点的相邻兄弟比较丰满，则可以向父结点借一个元素。假设这时右兄弟结点（含有Q,X）有一个以上的元素（Q右边还有元素），然后咱们将M下移到元素很少的子结点中，将Q上移到M的位置，这时，Q的左子树将变成M的右子树，也就是含有N，P结点被依附在M的右指针上。
所以在这个实例中，咱们没有办法去借一个元素，只能与兄弟结点进行合并成一个结点，而根结点中的唯一元素M下移到子结点，这样，树的高度减少一层。
为了进一步详细讨论删除的情况，再举另外一个实例：
这里是一棵不同的5序B树，那咱们试着删除C
于是将删除元素C的右子结点中的D元素上移到C的位置，但是出现上移元素后，只有一个元素的结点的情况。
又因为含有E的结点，其相邻兄弟结点才刚脱贫（最少元素个数为2），不可能向父节点借元素，所以只能进行合并操作，于是这里将含有A,B的左兄弟结点和含有E的结点进行合并成一个结点。
这样又出现只含有一个元素F结点的情况，这时，其相邻的兄弟结点是丰满的（元素个数为3>最小元素个数2），这样就可以想父结点借元素了，把父结点中的J下移到该结点中，相应的如果结点中J后有元素则前移，然后相邻兄弟结点中的第一个元素（或者最后一个元素）上移到父节点中，后面的元素（或者前面的元素）前移（或者后移）；注意含有K，L的结点以前依附在M的左边，现在变为依附在J的右边。这样每个结点都满足B树结构性质。
从以上操作可看出：除根结点之外的结点（包括叶子结点）的关键字的个数n满足：（ceil(m / 2)-1）<= n <= m-1，即2<=n<=4。这也佐证了咱们之前的观点。删除操作完。
5.B±tree
B±tree：是应文件系统所需而产生的一种B-tree的变形树。
一棵m阶的B+树和m阶的B树的异同点在于：
- 有n棵子树的结点中含有n-1 个关键字； (与B 树n棵子树有n-1个关键字 保持一致，参照：http://en.wikipedia.org/wiki/B%2B_tree#Overview，而下面B+树的图可能有问题，请读者注意)
- 所有的叶子结点中包含了全部关键字的信息，及指向含有这些关键字记录的指针，且叶子结点本身依关键字的大小自小而大的顺序链接。 (而B 树的叶子节点并没有包括全部需要查找的信息)
- 所有的非终端结点可以看成是索引部分，结点中仅含有其子树根结点中最大（或最小）关键字。 (而B 树的非终节点也包含需要查找的有效信息)
a) 为什么说B±tree比B 树更适合实际应用中操作系统的文件索引和数据库索引？
- B±tree的磁盘读写代价更低
B±tree的内部结点并没有指向关键字具体信息的指针。因此其内部结点相对B 树更小。如果把所有同一内部结点的关键字存放在同一盘块中，那么盘块所能容纳的关键字数量也越多。一次性读入内存中的需要查找的关键字也就越多。相对来说IO读写次数也就降低了。
举个例子，假设磁盘中的一个盘块容纳16bytes，而一个关键字2bytes，一个关键字具体信息指针2bytes。一棵9阶B-tree(一个结点最多8个关键字)的内部结点需要2个盘块。而B+ 树内部结点只需要1个盘快。当需要把内部结点读入内存中的时候，B 树就比B+ 树多一次盘块查找时间(在磁盘中就是盘片旋转的时间)。
- B±tree的查询效率更加稳定
由于非终结点并不是最终指向文件内容的结点，而只是叶子结点中关键字的索引。所以任何关键字的查找必须走一条从根结点到叶子结点的路。所有关键字查询的路径长度相同，导致每一个数据的查询效率相当。
总而言之，B树在提高了磁盘IO性能的同时并没有解决元素遍历的效率低下的问题。正是为了解决这个问题，B+树应运而生。B+树只要遍历叶子节点就可以实现整棵树的遍历，支持基于范围的查询，而B树不支持range-query这样的操作（或者说效率太低）。
B±tree的应用: VSAM(虚拟存储存取法)文件(来源论文 the ubiquitous Btree 作者：D COMER - 1979 )
6.B*-tree
B*-tree是B±tree的变体，在B+树的基础上(所有的叶子结点中包含了全部关键字的信息，及指向含有这些关键字记录的指针)，B*树中非根和非叶子结点再增加指向兄弟的指针；B*树定义了非叶子结点关键字个数至少为(2/3)*M，即块的最低使用率为2/3（代替B+树的1/2）。给出了一个简单实例，如下图所示：
B+树的分裂：当一个结点满时，分配一个新的结点，并将原结点中1/2的数据复制到新结点，最后在父结点中增加新结点的指针；B+树的分裂只影响原结点和父结点，而不会影响兄弟结点，所以它不需要指向兄弟的指针。
B*树的分裂：当一个结点满时，如果它的下一个兄弟结点未满，那么将一部分数据移到兄弟结点中，再在原结点插入关键字，最后修改父结点中兄弟结点的关键字（因为兄弟结点的关键字范围改变了）；如果兄弟也满了，则在原结点与兄弟结点之间增加新结点，并各复制1/3的数据到新结点，最后在父结点增加新结点的指针。
所以，B*树分配新结点的概率比B+树要低，空间使用率更高；
7.总结
通过以上介绍，大致将B树，B+树，B*树总结如下：
- B树：有序数组+平衡多叉树；
- B+树：有序数组链表+平衡多叉树；
- B*树：一棵丰满的B+树。
顺便说一句，无论是B树，还是B+树、b树，由于根或者树的上面几层被反复查询，所以这几块可以存在内存中，换言之，B树、B+树、B树的根结点和部分顶层数据在内存中，大部分下层数据在磁盘上。
3.3最近公共祖先LCA问题
问题描述
求有根树的任意两个节点的最近公共祖先。
分析与解法
解答这个问题之前，咱们得先搞清楚到底什么是最近公共祖先。最近公共祖先简称LCA（Lowest Common Ancestor），所谓LCA，是当给定一个有根树T时，对于任意两个结点u、v，找到一个离根最远的结点x，使得x同时是u和v的祖先，x 便是u、v的最近公共祖先。（参见：http://en.wikipedia.org/wiki/Lowest_common_ancestor ）原问题涵盖一般性的有根树，本文为了简化，多使用二叉树来讨论。
举个例子，如针对下图所示的一棵普通的二叉树来讲：
结点3和结点4的最近公共祖先是结点2，即LCA（3 4）=2 。在此，需要注意到当两个结点在同一棵子树上的情况，如结点3和结点2的最近公共祖先为2，即 LCA（3，2）=2。同理：LCA（5，6）=4，LCA（6，10）=1。
明确了题意，咱们便来试着解决这个问题。直观的做法，可能是针对是否为二叉查找树分情况讨论，这也是一般人最先想到的思路。除此之外，还有所谓的Tarjan算法、倍增算法、以及转换为RMQ问题（求某段区间的极值）。后面这几种算法相对高级，不那么直观，但思路比较有启发性，了解一下也有裨益。
解法一：暴力对待
1.1、是二叉查找树
在当这棵树是二叉查找树的情况下，如下图：
那么从树根开始：
- 如果当前结点t 大于结点u、v，说明u、v都在t 的左侧，所以它们的共同祖先必定在t 的左子树中，故从t 的左子树中继续查找；
- 如果当前结点t 小于结点u、v，说明u、v都在t 的右侧，所以它们的共同祖先必定在t 的右子树中，故从t 的右子树中继续查找；
- 如果当前结点t 满足 u <t < v，说明u和v分居在t 的两侧，故当前结点t 即为最近公共祖先；
- 而如果u是v的祖先，那么返回u的父结点，同理，如果v是u的祖先，那么返回v的父结点。
代码如下所示：
//copyright@eriol 2011
//modified by July 2014
public int query(Node t, Node u, Node v) {
int left = u.value;
int right = v.value;
//二叉查找树内，如果左结点大于右结点，不对，交换
if (left > right) {
int temp = left;
left = right;
right = temp;
}
while (true) {
//如果t小于u、v，往t的右子树中查找
if (t.value < left) {
t = t.right;
//如果t大于u、v，往t的左子树中查找
} else if (t.value > right) {
t = t.left;
} else {
return t.value;
}
}
}
1.2、不是二叉查找树
但如果这棵树不是二叉查找树，只是一棵普通的二叉树呢？如果每个结点都有一个指针指向它的父结点，于是我们可以从任何一个结点出发，得到一个到达树根结点的单向链表。因此这个问题转换为两个单向链表的第一个公共结点。
此外，如果给出根节点，LCA问题可以用递归很快解决。而关于树的问题一般都可以转换为递归（因为树本来就是递归描述），参考代码如下：
//copyright@allantop 2014-1-22-20:01
node* getLCA(node* root, node* node1, node* node2)
{
if(root == null)
return null;
if(root== node1 || root==node2)
return root;
node* left = getLCA(root->left, node1, node2);
node* right = getLCA(root->right, node1, node2);
if(left != null && right != null)
return root;
else if(left != null)
return left;
else if (right != null)
return right;
else
return null;
}
然不论是针对普通的二叉树，还是针对二叉查找树，上面的解法有一个很大的弊端就是：如需N 次查询，则总体复杂度会扩大N 倍，故这种暴力解法仅适合一次查询，不适合多次查询。
接下来的解法，将不再区别对待是否为二叉查找树，而是一致当做是一棵普通的二叉树。总体来说，由于可以把LCA问题看成是询问式的，即给出一系列询问，程序对每一个询问尽快做出反应。故处理这类问题一般有两种解决方法：
- 一种是在线算法，相当于循序渐进处理；
- 另外一种则是离线算法，如Tarjan算法，相当于一次性批量处理，一开始就知道了全部查询，只待询问。
解法二：Tarjan算法
如上文末节所述，不论咱们所面对的二叉树是二叉查找树，或不是二叉查找树，都可以把求任意两个结点的最近公共祖先，当做是查询的问题，如果是只求一次，则是单次查询；如果要求多个任意两个结点的最近公共祖先，则相当于是批量查询。
涉及到批量查询的时候，咱们可以借鉴离线处理的方式，这就引出了解决此LCA问题的Tarjan离线算法。
2.1、什么是Tarjan算法
Tarjan算法 （以发现者Robert Tarjan命名）是一个在图中寻找强连通分量的算法。算法的基本思想为：任选一结点开始进行深度优先搜索dfs（若深度优先搜索结束后仍有未访问的结点，则再从中任选一点再次进行）。搜索过程中已访问的结点不再访问。搜索树的若干子树构成了图的强连通分量。
应用到咱们要解决的LCA问题上，则是：对于新搜索到的一个结点u，先创建由u构成的集合，再对u的每颗子树进行搜索，每搜索完一棵子树，这时候子树中所有的结点的最近公共祖先就是u了。
举一个例子，如下图（不同颜色的结点相当于不同的集合）：
假设遍历完10的孩子,要处理关于10的请求了，取根节点到当前正在遍历的节点的路径为关键路径,即1-3-8-10，集合的祖先便是关键路径上距离集合最近的点。
比如：
- 1，2，5，6为一个集合,祖先为1，集合中点和10的LCA为1
- 3，7为一个集合，祖先为3，集合中点和10的LCA为3
- 8，9，11为一个集合，祖先为8，集合中点和10的LCA为8
- 10，12为一个集合，祖先为10，集合中点和10的LCA为10
得出的结论便是：LCA(u,v)便是根至u的路径上到节点v最近的点。
2.2、Tarjan算法如何而来
但关键是 Tarjan算法是怎么想出来的呢？再给定下图，你是否能看出来：分别从结点1的左右子树当中，任取一个结点，设为u、v，这两个任意结点u、v的最近公共祖先都为1。
于此，我们可以得知：若两个结点u、v分别分布于某节点t 的左右子树，那么此节点 t即为u和v的最近公共祖先。更进一步，考虑到一个节点自己就是LCA的情况，得知：
- 若某结点t 是两结点u、v的祖先之一，且这两结点并不分布于该结点t 的一棵子树中，而是分别在结点t 的左子树、右子树中，那么该结点t 即为两结点u、v的最近公共祖先。
这个定理就是Tarjan算法的基础。
一如上文1.1节我们得到的结论：“如果当前结点t 满足 u <t < v，说明u和v分居在t 的两侧，故当前结点t 即为最近公共祖先”。
而对于本节开头我们所说的“如果要求多个任意两个结点的最近公共祖先，则相当于是批量查询”，即在很多组的询问的情况下，或许可以先确定一个LCA。例如是根节点1，然后再去检查所有询问，看是否满足刚才的定理，不满足就忽视，满足就赋值，全部弄完，再去假设2号节点是LCA，再去访问一遍。
可此方法需要判断一个结点是在左子树、还是右子树，或是都不在，都只能遍历一棵树，而多次遍历的代价实在是太大了，所以我们需要找到更好的方法。这就引出了下面要阐述的Tarjan算法，即每个结点只遍历一次，怎么做到的呢，请看下文讲解。
2.3、Tarjan算法流程
Tarjan算法流程为：
Procedure dfs（u）；
begin
设置u号节点的祖先为u
若u的左子树不为空，dfs（u - 左子树）；
若u的右子树不为空，dfs（u - 右子树）；
访问每一条与u相关的询问u、v
-若v已经被访问过，则输出v当前的祖先t（t即u,v的LCA）
标记u为已经访问，将所有u的孩子包括u本身的祖先改为u的父亲
end
普通的dfs 不能直接解决LCA问题，故Tarjan算法的原理是dfs + 并查集，它每次把两个结点对的最近公共祖先的查询保存起来，然后dfs 更新一次。如此，利用并查集优越的时空复杂度，此算法的时间复杂度可以缩小至O(n＋Q)，其中，n为数据规模，Q为询问个数。
解法三：转换为RMQ问题
解决此最近公共祖先问题的还有一个算法，即转换为RMQ问题，用Sparse Table（简称ST）算法解决。
3.1、什么是RMQ问题
RMQ，全称为Range Minimum Query，顾名思义，则是区间最值查询，它被用来在数组中查找两个指定索引中最小值的位置。即RMQ相当于给定数组A[0, N-1]，找出给定的两个索引如 i、j 间的最小值的位置。
假设一个算法预处理时间为 f(n)，查询时间为g(n)，那么这个算法复杂度的标记为<f(n), g(n)>。我们将用RMQA(i, j) 来表示数组A 中索引i 和 j 之间最小值的位置。 u和v的离树T根结点最远的公共祖先用LCA T(u, v)表示。
如下图所示，RMQA(2,7 )则表示求数组A中从A[2]~A[7]这段区间中的最小值：
很显然，从上图中，我们可以看出最小值是A[3] = 1，所以也就不难得出最小值的索引值RMQA(2,7) = 3。
3.2、如何解决RMQ问题
3.2.1、Trivial algorithms for RMQ
下面，我们对对每一对索引(i, j)，将数组中索引i 和 j 之间最小值的位置 RMQA(i, j) 存储在M[0, N-1][0, N-1]表中。 RMQA(i, j) 有不同种计算方法，你会看到，随着计算方法的不同，它的时空复杂度也不同：
- 普通的计算将得到一个 <O(N^3), O(1)> 复杂度的算法。尽管如此，通过使用一个简单的动态规划方法，我们可以将复杂度降低到 <O(N^2), O(1)>。如何做到的呢？方法如下代码所示：
//copyright@
//modified by July 2014
void process1(int M[MAXN][MAXN], int A[MAXN], int N)
{
int i, j;
for (i =0; i < N; i++)
M[i][i] = i;
for (i = 0; i < N; i++)
for (j = i + 1; j < N; j++)
//若前者小于后者，则把后者的索引值付给M[i][j]
if (A[M[i][j - 1]] < A[j])
M[i][j] = M[i][j - 1];
//否则前者的索引值付给M[i][j]
else
M[i][j] = j;
}
- 一个比较有趣的点子是把向量分割成sqrt(N)大小的段。我们将在M[0,sqrt(N)-1]为每一个段保存最小值的位置。如此，M可以很容易的在O(N)时间内预处理。
- 一个更好的方法预处理RMQ 是对2^k 的长度的子数组进行动态规划。我们将使用数组M[0, N-1][0, logN]进行保存，其中M[ i ][ j ] 是以i 开始，长度为 2^j 的子数组的最小值的索引。这就引出了咱们接下来要介绍的Sparse Table (ST) algorithm。
3.2.2、Sparse Table (ST) algorithm
在上图中，我们可以看出：
- 在A[1]这个长度为2^0的区间内，最小值即为A[1] = 4，故最小值的索引M[1][0]为1；
- 在A[1]、A[2] 这个长度为2^1的区间内，最小值为A[2] = 3，故最小值的索引为M[1][1] = 2；
- 在A[1]、A[2]、A[3]、A[4]这个长度为2^2的区间内，最小值为A[3] = 1，故最小值的索引M[1][2] = 3。
为了计算M[i][j]我们必须找到前半段区间和后半段区间的最小值。很明显小的片段有着2^(j-1)长度，因此递归如下
根据上述公式，可以写出这个预处理的递归代码，如下：
void process2(int M[MAXN][LOGMAXN], int A[MAXN], int N)
{
int i, j;
//initialize M for the intervals with length 1
for (i = 0; i < N; i++)
M[i][0] = i;
//compute values from smaller to bigger intervals
for (j = 1; 1 << j <= N; j++)
for (i = 0; i + (1 << j) - 1 < N; i++)
if (A[M[i][j - 1]] < A[M[i + (1 << (j - 1))][j - 1]])
M[i][j] = M[i][j - 1];
else
M[i][j] = M[i + (1 << (j - 1))][j - 1];
}
经过这个O(N logN)时间复杂度的预处理之后，让我们看看怎样使用它们去计算 RMQA(i, j)。思路是选择两个能够完全覆盖区间[i…j]的块并且找到它们之间的最小值。设k = [log(j - i + 1)]。
为了计算 RMQA(i, j)，我们可以使用下面的公式：
故，综合来看，咱们预处理的时间复杂度从O(N3)降低到了O(N logN)，查询的时间复杂度为O(1)，所以最终的整体复杂度为：<O(N logN), O(1)>。
3.3、LCA与RMQ的关联性
现在，让我们看看怎样用RMQ来计算LCA查询。事实上，我们可以在线性时间里将LCA问题规约到RMQ问题，因此每一个解决RMQ的问题都可以解决LCA问题。让我们通过例子来说明怎么规约的：
注意LCAT(u, v)是在对T进行dfs过程当中在访问u和v之间离根结点最近的点。因此我们可以考虑树的欧拉环游过程u和v之间所有的结点，并找到它们之间处于最低层的结点。为了达到这个目的，我们可以建立三个数组：
- E[1, 2*N-1] - 对T进行欧拉环游过程中所有访问到的结点;E[i]是在环游过程中第i个访问的结点
- L[1,2*N-1] - 欧拉环游中访问到的结点所处的层数;L[i]是E[i]所在的层数
- H[1, N] - H[i] 是E中结点i第一次出现的下标(任何出现i的地方都行，当然选第一个不会错)
假定H[u]<Hv。可以很容易的看到u和v第一次出现的结点是E[H[u]…H[v]]。现在，我们需要找到这些结点中的最低层。为了达到这个目的，我们可以使用RMQ。因此 LCAT(u, v) = E[RMQL(H[u], H[v])] ,RMQ返回的是索引，下面是E,L,H数组：
注意L中连续的元素相差为1。
3.4、从RMQ到LCA
我们已经看到了LCA问题可以在线性时间规约到RMQ问题。现在让我们来看看怎样把RMQ问题规约到LCA。这个意味着我们实际上可以把一般的RMQ问题规约到带约束的RMQ问题(这里相邻的元素相差1)。为了达到这个目的，我们需要使用笛卡尔树。
对于数组A[0,N-1]的笛卡尔树C(A)是一个二叉树，根节点是A的最小元素，假设i为A数组中最小元素的位置。当i>0时，这个笛卡尔树的左子结点是A[0,i-1]构成的笛卡尔树，其他情况没有左子结点。右结点类似的用A[i+1,N-1]定义。注意对于具有相同元素的数组A，笛卡尔树并不唯一。在本文中，将会使用第一次出现的最小值，因此笛卡尔树看作唯一。可以很容易的看到RMQA(i, j) = LCAC(i, j)。
下面是一个例子：
现在我们需要做的仅仅是用线性时间计算C(A)。这个可以使用栈来实现。
- 初始栈为空。
- 然后我们在栈中插入A的元素。
- 在第i步,A[i]将会紧挨着栈中比A[i]小或者相等的元素插入,并且所有较大的元素将会被移除。
- 在插入结束之前栈中A[i]位置前的元素将成为i的左儿子，A[i]将会成为它之后一个较小元素的右儿子。
在每一步中，栈中的第一个元素总是笛卡尔树的根。
如果使用栈来保存元素的索引而不是值，我们可以很轻松的建立树。由于A中的每个元素最多被增加一次和最多被移除一次，所以建树的时间复杂度为O(N)。最终查询的时间复杂度为O(1)，故综上可得，咱们整个问题的最终时间复杂度为：<O(N), O(1)>。
现在，对于询问 RMQA(i, j) 我们有两种情况:
- i和j在同一个块中,因此我们使用在P和T中计算的值
- i和j在不同的块中，因此我们计算三个值:从i到i所在块的末尾的P和T中的最小值，所有i和j中块中的通过与处理得到的最小值以及从j所在块i和j在同一个块中,因此我们使用在P和T中计算的值j的P和T的最小值；最后我们我们只要计算三个值中最小值的位置即可。
RMQ和LCA是密切相关的问题，因为它们之间可以相互规约。有许多算法可以用来解决它们，并且他们适应于一类问题。
解法四：线段树
解决RMQ问题也可以用所谓的线段树Segment trees。线段树是一个类似堆的数据结构，可以在基于区间数组上用对数时间进行更新和查询操作。我们用下面递归方式来定义线段树的[i, j]区间：
- 第一个结点将保存区间[i, j]区间的信息
- 如果i<j 左右的孩子结点将保存区间[i, (i+j)/2]和[(i+j)/2+1, j] 的信息
注意具有N个区间元素的线段树的高度为[logN] + 1。下面是区间[0,9]的线段树：
线段树和堆具有相同的结构，因此我们定义x是一个非叶结点，那么左孩子结点为2x,而右孩子结点为2x+1。想要使用线段树解决RMQ问题，我们则要要使用数组 M[1, 2 * 2[logN] + 1]，这里M[i]保存结点i区间最小值的位置。初始时M的所有元素为-1。树应当用下面的函数进行初始化(b和e是当前区间的范围)：
void initialize(int node, int b, int e, int M[MAXIND], int A[MAXN], int N)
{
if (b == e)
M[node] = b;
else
{
//compute the values in the left and right subtrees
initialize(2 * node, b, (b + e) / 2, M, A, N);
initialize(2 * node + 1, (b + e) / 2 + 1, e, M, A, N);
//search for the minimum value in the first and
//second half of the interval
if (A[M[2 * node]] <= A[M[2 * node + 1]])
M[node] = M[2 * node];
else
M[node] = M[2 * node + 1];
}
}
上面的函数映射出了这棵树建造的方式。当计算一些区间的最小值位置时，我们应当首先查看子结点的值。调用函数的时候使用 node = 1, b = 0和e = N-1。
现在我们可以开始进行查询了。如果我们想要查找区间[i, j]中的最小值的位置时，我们可以使用下一个简单的函数：
int query(int node, int b, int e, int M[MAXIND], int A[MAXN], int i, int j)
{
int p1, p2;
//if the current interval doesn't intersect
//the query interval return -1
if (i > e || j < b)
return -1;
//if the current interval is included in
//the query interval return M[node]
if (b >= i && e <= j)
return M[node];
//compute the minimum position in the
//left and right part of the interval
p1 = query(2 * node, b, (b + e) / 2, M, A, i, j);
p2 = query(2 * node + 1, (b + e) / 2 + 1, e, M, A, i, j);
//return the position where the overall
//minimum is
if (p1 == -1)
return M[node] = p2;
if (p2 == -1)
return M[node] = p1;
if (A[p1] <= A[p2])
return M[node] = p1;
return M[node] = p2;
}
你应该使用node = 1, b = 0和e = N - 1来调用这个函数，因为分配给第一个结点的区间是[0, N-1]。
可以很容易的看出任何查询都可以在O(log N)内完成。注意当我们碰到完整的in/out区间时我们停止了，因此数中的路径最多分裂一次。用线段树我们获得了<O(N),O(logN)>的算法
线段树非常强大，不仅仅是因为它能够用在RMQ上，还因为它是一个非常灵活的数据结构，它能够解决动态版本的RMQ问题和大量的区间搜索问题。
其余解法
除此之外，还有倍增法、重链剖分算法和后序遍历也可以解决该问题。其中，倍增思路相当于层序遍历，逐层或几层跳跃查，查询时间复杂度为O(log n)，空间复杂度为nlogn，对于每个节点先存储向上1层2层4层的节点，每个点有depth信息。
3.10本章堆栈树图相关的习题
1、附近地点搜索
找一个点集中与给定点距离最近的点，同时，给定的二维点集都是固定的，查询可能有很多次，例如，坐标(39.91, 116.37)附近500米内有什么餐馆，那么让你来设计，该怎么做？
提示：可以建立R树进行二维搜索，或使用GeoHash算法解决。
2、最小操作数
给定一个单词集合Dict，其中每个单词的长度都相同。现从此单词集合Dict中抽取两个单词A、B，我们希望通过若干次操作把单词A变成单词B，每次操作可以改变单词的一个字母，同时，新产生的单词必须是在给定的单词集合Dict中。求所有行得通步数最少的修改方法。
举个例子如下：
Given:
A = “hit”
B = “cog”
Dict = [“hot”,“dot”,“dog”,“lot”,“log”]
Return
[
[“hit”,“hot”,“dot”,“dog”,“cog”],
[“hit”,“hot”,“lot”,“log”,“cog”]
]
即把字符串A = "hit"转变成字符串B = “cog”，有以下两种可能：
“hit” -> “hot” -> “dot” -> “dog” -> “cog”；
“hit” -> “hot” -> “lot” -> “log” ->“cog”。
提示：建图然后搜索。
3、最少操作次数的简易版
给定两个字符串，仅由小写字母组成，它们包含了相同字符。
求把第一个字符串变成第二个字符串的最小操作次数，且每次操作只能对第一个字符串中的某个字符移动到此字符串中的开头。
例如给定两个字符串“abcd" “bcad” ，输出：2，因为需要操作2次才能把"abcd"变成“bcad" ，方法是：abcd->cabd->bcad。
3、把二元查找树转变成排序的双向链表
输入一棵二元查找树，将该二元查找树转换成一个排序的双向链表。要求不能创建任何新的结点，只调整指针的指向。例如把下述二叉查找树
10
/ /
6 14
/ / / /
4 8 12
转换成双向链表，即得：
4=6=8=10=12=14=16。
4、在二元树中找出和为某一值的所有路径
输入一个整数和一棵二元树。
从树的根结点开始往下访问一直到叶结点所经过的所有结点形成一条路径。
打印出和与输入整数相等的所有路径。
5、判断整数序列是不是二元查找树的后序遍历结果
输入一个整数数组，判断该数组是不是某二元查找树的后序遍历的结果，如果是返回true，否则返回false。
例如输入5、7、6、9、11、10、8，由于这一整数序列是如下树的后序遍历结果：
8
/ /
6 10
/ / / /
5 7 9 11
因此返回true。
如果输入7、4、6、5，没有哪棵树的后序遍历的结果是这个序列，因此返回false。
6、设计包含min函数的栈
定义栈的数据结构，要求添加一个min函数，能够得到栈的最小元素。要求函数min、push以及pop的时间复杂度都是O(1)。
7、求二叉树中节点的最大距离
如果我们把二叉树看成一个图，父子节点之间的连线看成是双向的，我们姑且定义"距离"为两节点之间边的个数。
请写一个程序，求一棵二叉树中相距最远的两个节点之间的距离。
8
输入一颗二元树，从上往下按层打印树的每个结点，同一层中按照从左往右的顺序打印。
例如输入
8
/ /
6 10
/ / / /
5 7 9 11
输出8 6 10 5 7 9 11。
9
请用递归和非递归俩种方法实现二叉树的前序遍历。
10、求树的深度
输入一棵二元树的根结点，求该树的深度。从根结点到叶结点依次经过的结点（含根、叶结点）形成树的一条路径，最长路径的长度为树的深度。
例如：输入二元树：
10
/ /
6 14
/ / /
4 12 16
输出该树的深度3。
实现简单的一个查找二叉树的深度的函数。
11、用俩个栈实现队列
某队列的声明如下：
template<typename T> class CQueue
{
public:
CQueue() {}
~CQueue() {}
void appendTail(const T& node); // append a element to tail
void deleteHead(); // remove a element from head
private:
T> m_stack1;
T> m_stack2;
};
提示：这道题实质上是要求我们用两个栈来实现一个队列。栈是一种后入先出的数据容器，因此对队列进行的插入和删除操作都是在栈顶上进行；队列是一种先入先出的数据容器，我们总是把新元素插入到队列的尾部，而从队列的头部删除元素。
12
假设有一颗二叉树，已知这棵树的节点上不均匀的分布了若干石头，石头数跟这棵二叉树的节点数相同，石头只可以在子节点和父节点之间进行搬运，每次只能搬运一颗石头。请问如何以最少的步骤将石头搬运均匀，使得每个节点上的石头上刚好为1。
13
对于一颗完全二叉树，要求给所有节点加上一个pNext指针，指向同一层的相邻节点；如果当前节点已经是该层的最后一个节点，则将pNext指针指向NULL；给出程序实现，并分析时间复杂度和空间复杂度。
14
两个用户之间可能互相认识，也可能是单向的认识，用什么数据结构来表示？如果一个用户不认识别人，而且别人也不认识他，那么他就是无效节点，如何找出这些无效节点？自定义数据接口并实现之，要求尽可能节约内存和空间复杂度。
15
有一个一亿节点的树，现在已知两个点，找这两个点的共同的祖先。
16
给一个二叉树，每个节点都是正或负整数，如何找到一个子树，它所有节点的和最大？
提示：后序遍历，每一个节点保存左右子树的和加上自己的值。额外一个空间存放最大值。
写完后序遍历，面试官可能接着与你讨论，
- a). 如果要求找出只含正数的最大子树，程序该如何修改来实现？
![b)]( "b)")
. 假设我们将子树定义为它和它的部分后代，那该如何解决？- c). 对于b，加上正数的限制，方案又该如何？
总之，一道看似简单的面试题，可能能变换成各种花样。
比如，面试管可能还会再提两个要求：第一，不能用全局变量；第二，有个参数控制是否要只含正数的子树。
17
有一个排序二叉树，数据类型是int型，如何找出中间大的元素。
18
中序遍历二叉树，结果为ABCDEFGH，后序遍历结果为ABEDCHGF，那么前序遍历结果为?
19
写程序输出8皇后问题的所有排列，要求使用非递归的深度优先遍历。
20
在8X8的棋盘上分布着n个骑士，他们想约在某一个格中聚会。骑士每天可以像国际象棋中的马那样移动一次，可以从中间像8个方向移动（当然不能走出棋盘），请计算n个骑士的最早聚会地点和要走多少天。要求尽早聚会，且n个人走的总步数最少，先到聚会地点的骑士可以不再移动等待其他的骑士。
从键盘输入n（0<n<=64），然后一次输入n个骑士的初始位置xi,yi（0<=xi,yi<=7）。屏幕输出以空格分隔的三个数，分别为聚会点（x，y）以及走的天数。
提示：BFS。
21、城市遍历
某人家住北京，想去青海玩，可能会经过许多城市，现已知地图上的城市连接，求经过M个城市到达青海的路线种类。城市可以多次到达的，比如去了天津又回到北京，再去天津，即为3次。北京出发不算1次。
输入：
N M S
N为城市总数，北京为0，青海为N-1；
M为经过的城市数目；
S为之后有S行
i j
表示第i个城市可以去第j个城市，是有方向的。
输出：
N
表示路径种类。
22
给定两个站点，如果没有直达的路线，如何找到换乘次数最少的路线？
23
有两座桥，其中一座可能是坏的，两个守桥人分别守在这两座桥的入口。他们一个总是会说实话，一个总是说谎话。
你现在需要找出哪一座桥可以通过。
请问最少需要问守桥人几个问题，可以找出可以通过的桥？如何问？
24
一类似于蜂窝的结构的图，进行搜索最短路径（要求5分钟）。
25
对于一颗完全二叉树，要求给所有节点加上一个pNext指针，指向同一层的相邻节点；如果当前节点已经是该层的最后一个节点，则将pNext指针指向NULL；给出程序实现，并分析时间复杂度和空间复杂度。
注：上述所有的文章已于2014年6月30日基本停止更新（当然，如果有bug，请随时指出，一经确认，立即修正）。所有进一步的修改、改动、优化请见2015年10月14日上市销售的纸质版《编程之法：面试和算法心得》。感谢大家。
July、二零一四年八月十四日。
本书版权属于原作者，转载于：https://github.com/julycoding/The-Art-Of-Programming-By-July/blob/master/ebook/zh/Readme.md
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