编程基础（2）- 数学题 (二) | 粗调和精调

1. 问题

    有两个一模一样的玻璃球。这两个球如果从一定高度掉到地上就会摔碎，当然，如果在这个高度以下往下扔，怎么都不会碎，超过这个高度肯定就一次摔碎了。

    现在已知这个恰巧摔碎的高度范围在 1 层楼到 100 层楼之间。如何用最少的试验次数，用这两个玻璃球测试出玻璃球恰好摔碎的楼高？

2. 分析

    为了便于理解这道题，可以尝试两个具体的策略：

        策略1: 是从第一层楼开始，一层一层往上试验。拿着球跑到第一层，一摔，没有碎，接下来你又跑到第二层去试，也没有摔碎。一层层试下去，比如说到了第 59 层摔碎了，那么就知道它摔碎的高度是 59层。这个策略能保证你获得成功，但显然不是很有效。

        策略2: 是预测一下，试一试，跑到 30 层楼一试，没有碎，再跑到 80 层楼一试，碎了。虽然你把摔碎高度的范围从 1-100 减小到 30-80，但接下来你就犯难了，因为你就剩一个球了，再这样凭感觉做试验，可能两个球都摔碎了，也测不出想知道的高度。

    这道题好的方法是什么呢？

3. 解题

    两个球，一个用来做粗调，一个用来做精调，具体做法是以下这样的。

    粗调: 第一个球到 10 层楼去试，如果没有摔碎，就去 20 层楼，每次增加 10 层楼。如果在某个十层摔碎了，比如 60 层，就知道摔碎的高度在 51 ~ 60 层之间。

    精调: 接下来从 51 层开始一层层地试验，这样可以保证不出二十次，一定能试出恰巧摔碎玻璃球的高度。

4. 总结

    这道题其实是 Google 的一道面试题。这道题和计算机技术完全无关，和产品设计或者市场推广似乎也无关，那么为什么Google要考这道题？其实有两个目的， 一是为了找到聪明人，二是为了判断这个候选人的工程素养。

    世界上顶级的公司在招人时都要强调一个人未来的可塑性，其中的一条就是要足够聪明便于培养，因此都会考一些看似智力题的问题。这个传统在IT行业，特别是在硅谷，源于诺贝尔奖获得者夏克利挑选人的思维方式。

    为什么可塑性比过去的经历重要呢？因为大部分公司招人是做未来的事情，而不是重复过去的事情，尤其是对于大学刚毕业的年轻人，过去在大学几年学的东西，和后来一辈子要不断学习的东西相比，实在少得可怜。

    因此， 如果一个资质平庸、学习能力不强的学生在大学时多学了一点专业知识，比那些聪明好学，少学一两门专业课的人相比，后劲是不足的。

    那么这道题考的是什么样的工程素养呢？就是标题所说的粗调和精调。

5. 工程中的粗调和精调

    有一个数字是 40.365，比如说天文望远镜的焦距，怎样达到它？

    一般人按照生活直觉，直奔这个数字去就可以了。但是在工程上，这样简单的一个数字并非抽象的，而是非常具体的。

    如果是天文望远镜的焦距，你是否会用手把握着望远镜的那个圆筒，前后移动，估摸着镜片之间的距离来调整呢？如果这是导弹发射的角度，你自己是否会用个量角器估算导弹和水平线的角度呢？

    显然我们不能这么做，我们必须有一个可以准确达到这个数字的办法，这就是工程的思维 -- 不仅仅要知道目标在哪里，还必须设计一个能够达到目标的道路。

    对于天文望远镜，设计它们的工程师必须设计一个能够转动的旋钮，让它的长度接近 40.365 这个数字。

    但是接下来的问题来了，如果这个旋钮每转动一圈，调整的幅度太大，要调到小数点后面三位几乎不可能。如果每转动一圈调整的幅度太小，比如每次调整 0.001，那么可能要花很长时间才能调到 40.365 这个数。类似地，调整导弹的角度也是如此。

    那么工程师们是怎么做的呢？就是要设计各种粗调和精调的方法。

    在中国学习生物时用过光学显微镜的朋友，可能还会记得在显微镜上有两个旋钮， 第一个是粗调，让你大致看到图像，第二个是精调，能让你看清楚图像。

    如果不用粗调，只用精调，不仅做事的效率会很低，而且可能会因为一开始的范围找得不对，在花了半天时间后没有找到后，最后干脆放弃了尝试。

    今天最先进的手术机器人的精度可以做到0.001毫米，这样精密的仪器里面的电机一开始速度相对比较快，否则一个手术做的时间会长得不得了。

    但是手术刀接近目标距离时，会变得非常慢，但精度会非常高。这样，手术机器人才能同时保证效率和准确性。

    类似地，任何一个机器学习的过程，其实都是不断地调整数学模型参数的过程，直到参数收敛到最佳点。

    每一次调整被称为是一次迭代，调整的幅度被称为迭代的步长。一开始的时候，迭代的步长要比较大，这样能够很快地确定大致范围，效率比较高。

    这就如同测试玻璃球的那个问题中，一开始一次测试 10 层是一样。但是，如果总是把步长设计得很大，那么最后可能会找不到最佳的参数，因为要么走过头了，要么没有走到。因此，机器学习到最后需要缩小步长，进行精调，以保证最后收敛到最佳点。

    世界上每年有很多机器学习方面的论文，都是围绕提高学习效率展开的，而其中的核心其实就是怎样用最少次迭代，完成模型的训练。当然，任何好的机器学习算法都不是事先人为设定步长，而是在学习的过程中，自动找到合适的步长。

    这种粗调和精调结合的工程设计方式，并不限于 “调节” 这个范围，而且用于了很多工程产品的设计。

    粗调和精调的思维方式其实在生活中也有应用。很多时候我们先用低成本解决主要问题，然后再想办法把最后 5%、10% 做好。


-- 来源：吴军《硅谷来信》