LCS问题

本身是很简单的一个贪心+DP，做作业想熟悉下md，就用md写了。然后心想都用md写了就上传一下做个记录吧。

1. 状态转移方程

为方便说明，并不完全按照教材来定义

1. 定义

下标从\(1\)开始
\(n\)表示序列\(X\)的长度
\(m\)表示序列\(Y\)的长度
\(dp[i][j]\)表示\(X[1..i]\)与\(Y[1..j]\)的最长公共子序列（该定义也和教材不同），因此\(dp[n][m]\)就是最终答案。
\(a\leftarrow b\)表示\(b\)对\(a\)产生影响，例如\(a\leftarrow b_1\)且\(a\leftarrow b_2\)表示\(a=max(b_1, b_2)\)。

2. 说明

首先，\(dp\)数组的设计是常见想法，例如在最大子数组和问题中定义的\(dp[i]\)即为以第i个元素结尾的子数组的最大和。本问题由于有两个序列，因此定义二维\(dp\)数组即可。

接下来考虑转移状态，考虑如何推出\(dp[i][j]\):

当\(X[i]=Y[j]\)时，\(dp[i-1][j-1]\)代表的序列（注意，\(dp\)的值保存的是长度）可以直接加上\(X[i]/Y[j]\)，即\(dp[i][j]\leftarrow dp[i-1][j-1]+1\)。并且此时一定不比\(dp[i-1][j]\)或\(dp[i][j-1]\)要差（因为\(dp[i-1][j-1]\)到\(dp[i-1][j]\)或\(dp[i][j-1]\)最多也就\(+1\)）。因此此时可以直接令\(dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1\)。

当\(X[i]\neq Y[j]\)时，在\(X[1..i]\)和\(Y[1..j]\)中，选出的最长公共子序列的末尾一定不可能是由\(X[i]/Y[j]\)得到的，换句话说，\(X[i]和Y[j]\)一定有一个没法算进\(dp[i][j]\)。此时考虑\(X[i]\)不选的情况，则\(dp[i][j]\leftarrow dp[i-1][j]\)；考虑\(Y[j]\)不选的情况，则\(dp[i][j]\leftarrow dp[i][j-1]\)。

综上，当\(X[i]=Y[j]\)时，\(dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1\)；当\(X[i]\neq Y[j]\)时，\(dp[i][j]=max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])\)。

2. 填充\(dp\)数组

	C	T	C	A	C	A	G	G
A	0	0	0	1	1	1	1	1
T	0	1	1	1	1	1	1	1
T	0	1	1	1	1	1	1	1
C	1	1	2	2	2	2	2	2
G	1	1	2	2	2	2	3	3
A	1	1	2	3	3	3	3	3
G	1	1	2	3	3	3	4	4

3. 最长公共子序列

最长公共子序列长度为4，其中两个为:
\(TCGG\)
\(TCAG\)