hdu1232 并查集总结
前言
在一些有N个元素的集合应用问题中，我们通常是在开始时让每个元素构成一个单元素的集合，然后按一定顺序将属于同一组的元素所在的集合合并，其间要反复查找一个元素在哪个集合中。
这一类问题其特点是看似并不复杂，但数据量极大，若用正常的数据结构来描述的话，往往在空间上过大，计算机无法承受；即使在空间上勉强通过，运行的时间复杂度也极高，根本就不可能在规定的运行时间（1～3秒）内计算出试题需要的结果，只能用并查集来描述。
定义
并查集（Disjoint Set），即“不相交集合”，是一种树型的数据结构，用于处理一些不相交集合（Disjoint Sets）的合并及查询问题。常常在使用中以森林来表示。集就是让每个元素构成一个单元素的集合，也就是按一定顺序将属于同一组的元素所在的集合合并。
将编号分别为1…N的N个对象划分为不相交集合，在每个集合中，选择其中某个元素代表所在集合。
常见两种操作：
- 合并两个集合
- 查找某元素属于哪个集合
用编号最小的元素标记所在集合；定义一个数组set[1...n]，其中set[i]表示元素i 所在的集合；
算法实现
查找
时间复杂度：\(O(1)\)
find1(x)
{
return set[x];
}
合并
时间复杂度：\(O(n)\)
Merge1(a,b)
{
i = min(a,b);
j = max(a,b);
for (k = 1; k <= N; k++) {
if (set[k] == j)
set[k] = i;
}
}
对于合并操作，必须搜索全部元素！有没有可以改进的地方呢？
算法的优化
使用树结构
每个集合用一棵“有根树”表示，定义数组set[1...n]
set[i] = i，则 i 表示本集合，并且是集合所对应树的根set[i] = j，j<>i，则 j 是 i 的父节点
查找
时间复杂度（最坏）：\(O(n)\)
find2(x)
{
r = x;
while (set[r] != r)
r = set[r];
return r;
}
合并
时间复杂度：\(O(1)\)
merge2(a, b)
{
if (a<b)
set[b] = a;
else
set[a] = b;
}
避免最坏情况
方法：将深度小的树合并到深度大的树
实现：假设两棵树的深度分别为h1和h2, 合并后的树的高度为h，则
\[h =
\begin{cases}
max(h1, h2), & \text{if h1<>h2} \\
h1+1, & \text{if h1=h2}
\end{cases}
\]
效果：任意顺序的合并操作以后，包含k个节点的树的最大高度不超过\(\log_2{k}\)
查找
时间复杂度：\(O(\log_2{n})\)
find2(x)
{
r = x;
while (set[r] != r)
r = set[r];
return r;
}
合并
时间复杂度：\(O(1)\)
merge3(a,b)
{
if (height(a) == height(b)) {
height(a) = height(a) + 1;
set[b] = a;
} else if (height(a) < height(b)) {
set[a] = b;
} else {
set[b] = a;
}
}
路径压缩
思想：每次查找的时候，如果路径较长，则修改信息，以便下次查找的时候速度更快。
步骤:
- 找到根结点
- 修改查找路径上的所有节点，将它们都指向根结点
路径压缩示意图:
查找
find3(x)
{
r = x;
while (set[r] != r) //循环结束，则找到根节点
r = set[r];
i = x;
while (i != r) //本循环修改查找路径中所有节点
{
j = set[i];
set[i] = r;
i = j;
}
}
hdu1232
#include<stdio.h>
int x[1005];
int min(int a,int b);
int max(int a,int b);
void xs(int a,int b);
int fine(int a);
int main()
{
int n,m,i,a,b;
while(scanf("%d",&n)&&n)
{
int sum = -1;
scanf("%d",&m);
for(i=1;i<=n;i++) x[i]=i; //首先把各自的父节点设为自身
for(i=1;i<=m;i++)
{
scanf("%d%d",&a,&b);
xs(a,b); //合并两个集合
}
for(i=1;i<=n;i++)
{
if(x[i]==i) sum++; //算出（最后不同集合的个数-1）即为所求
}
printf("%d\n",sum);
}
return 0;
}
int min(int a,int b)
{
return a<b ? a : b;
}
int max(int a,int b)
{
return a>b ? a : b;
}
int fine(int a)
{
if(x[a]==a) return a;
else return fine(x[a]);
}
void xs(int a,int b)
{
x[max(fine(a),fine(b))] = min(fine(a),fine(b));
}
