库恩塔克条件

如下的数学模型称为数学规划：

首先，看约束条件H，如果x发生任何微小的变化就会引起该约束的崩溃，所以H在任何时刻都是有效的。G则可以分成两部分：和=，=的情况和H相同，是有效约束，而对于的情况，只要x的变化足够小就可以保证该约束不会被破坏，所以这个约束是无效的。

将g泰勒级数展开得到：

那么只要，那么只要保证在任意的可行方向D上都有：

那么只要足够小就可以保证在可行集中。

同理，在可行集中只要存在：

那么就能找到更小的f值，也就是说不是极值点。那么进一步也就知道了，在：

不存在D使得上面两个条件同时存在的时候，那么在存在极值。

现在开始考虑如何求出极值，两种情况：

• 在可行区域内部；
• 在可行区域边缘；

对于第一种情况，只有h起作用，有现成的解法就不说了。

对于第二种情况：如果在一个约束的边缘上，也就是

那么，不管朝什么方向走只有两种结果：

1. g(x)<0
2. f(x)增加

所以，此处的g和f的向量方向一定方向相同，也就是：

有了这个基础，那么当处于多个有效约束上的时候也是一样的，在x变化的时候其实是在多个向量上的线性的叠加，那么就可以把看作是多个g的叠加的。也就是：

为了使得所有的g都在上式中出现，增加约束条件：

γg(x)=0

这样在不在约束条件的时候，γ=0。

好了，现在介绍库恩塔克条件：

其实也就是扩展的拉格朗日乘子法。库恩塔克是确定极值点的必要条件，但一般来讲不是充分条件（在凸规划中时充要条件）。