图算法(1)-广度优先遍历

图的广度优先遍历其实并不难，当边的权重相同时，由图的广度优先遍历可以得到其余节点到源节点的最短路径。我使用了邻接表实现了这个算法。

首先来看看图的数据结构的定义：

struct Edge
{
    int end;
};

enum Color {WHITE, GRAY, BLACK};

struct Node
{
    std::string value;
    std::vector<Edge> edges;
    int d;
    int p;
    Color color;
};

struct Graph
{
    std::vector<Node> nodes;
    std::map<std::string, int> nodemap;

    void InsertNode(std::string value)
    {
        Node n;
        n.value = value;
        nodes.push_back(n);
        nodemap[value] = nodes.size() - 1;
    }

    void InsertEdge(int begin, int end)
    {
        Edge e = { end };
        nodes[begin].edges.push_back(e);
    }

    void InsertEdge(std::string beginv, std::string endv)
    {
        int begin = nodemap[beginv];
        int end = nodemap[endv];
        InsertEdge(begin, end);
    }
    
    void InsertUndirEdge(int begin, int end)
    {
        InsertEdge(begin, end);
        InsertEdge(end, begin);
    }

    void InsertUndirEdge(std::string beginv, std::string endv)
    {
        int begin = nodemap[beginv];
        int end = nodemap[endv];
        InsertUndirEdge(begin, end);
    }
};

在这里，Edge只记录了end节点，之所以单独封装成一个结构，一是语义上更加直观，二是以后想要扩充时会比较方便（比如需要扩充为带权重的图时，在Edge里加一个权重项就可以了，已有算法不用改变）。Node里value代表节点的语义值，比如我们常常面对实际问题的时候，并不是直接给的“节点1”，给的可能是“节点a”，记录这个语义值可以方便最后输出计算结果。Node里还有一个edges记录以该node为begin的边，同时要注意的时，Node里还加入了d,p,color。d用来记录该节点到源节点的距离，p记录该节点到源节点最短路径的父节点，color用于记录在遍历过程中，节点是否已经遍历到（WHITE没有遍历到，GRAY遍历到，但是还有与之相连的节点没有，BLACK表示遍历完成）。Graph主要是存储了一个邻接表nodes，其余的函数都是为了方便建图。（采取先插入所有节点，再插入边的方式）。其中插入边的时候，可以按照节点的语义值插入，这时候我们先搜索语义值对应的节点编号，然后再插入对应边信息。

有了以上的数据结构，我们的广度优先遍历算法就变得非常简单明了了：

void BFS(Graph& g, int s)
{
    for (size_t i = 0; i < g.nodes.size(); ++i)
    {
        g.nodes[i].d = -1;
        g.nodes[i].p = -1;
        g.nodes[i].color = WHITE;
    }
    g.nodes[s].d = 0;
    g.nodes[s].p = -1;
    g.nodes[s].color = GRAY;
    queue<int> q;
    q.push(s);
    while (!q.empty())
    {
        int u = q.front(); q.pop();
        for (size_t i = 0; i < g.nodes[u].edges.size(); ++i)
        {
            int v = g.nodes[u].edges[i].end;
            if (g.nodes[v].color == WHITE)
            {
                g.nodes[v].d = g.nodes[u].d + 1;
                g.nodes[v].p = u;
                g.nodes[v].color = GRAY;
                q.push(v);
            }
        }
        g.nodes[u].color = BLACK;
    }
}