【图论】CF2098D Baggage Claim

题目大意

给定一个 \(n\times m\) 的网格图，并存在一个经过 \(2k+1\) 个点的路径 \(p_1,p_2\dots p_{2k+1}\)，其中，\(p_i\) 与 \(p_{i+1}\) 之间共享一条公共边，同时 \(\forall i\neq j,p_i\neq p_j\)。
由于污损，只已知奇数下标的点，偶数下标的点位置未知。求满足条件的路径数。

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不考虑一个点不可以两次的情况，每次从 \((x_i,y_i)\) 到 \((x_{i+1},y_{i+1})\)，只有 \(1\) 或 \(2\) 钟走法（当然也存在两点之间曼哈顿距离 \(\neq2\) 所以无解的情况）我们令这两种走法经过的中间点为 \(a_i\) 和 \(b_i\)，如果只有一种走法那么 \(a_i=b_i\)。
我们考虑将 \(a_i\) 和 \(b_i\) 两点之间连边，而一条路径上只能在 \(a_i\) 和 \(b_i\) 两点中选一点则对应着对所连的边定向，边指向的点为选择走的点。而一个点至多经过一次则对应着图中每个点的入度 \(\leq1\)。
对每个连通块单独考虑，令 \(n\) 表示该联通快的点数，\(m\) 表示该连通块的边数。

• \(m=n-1\)。即连通块是一个树，此时不管怎么连都一切只有一个点入度 \(=0\)，其余点入度 \(=1\)。那么于枚举这个入度为 \(0\) 的点，可以发现，定下哪个点入度为 \(0\) 后定向方案唯一。方案数为 \(n\)。
• \(m=n\)。即连通块为一个基环树。如果这个环为自环，那么方案数为一，否则环上有两种定向方式，则方案数为二。
• \(m>n\)。由鸽巢定理可知一定存在至少一个点入度 \(>1\)，所以无解。

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