洛谷P1029 最大公约数和最小公倍数问题 数论

洛谷P1029 最大公约数和最小公倍数问题

题意 给定 x0与y0 求有多少组正整数对(P,Q) 满足 P与Q的最大公约数是x0 最小公倍数是y0
首先我们可以发现x0*y0 == P*Q
那么我们知道 x0 与 y0 的乘积 我们就可以在 O(sqrt(n)) 的时间内枚举他的因数
然后再判断 其公约数是否为 x0 设 w=sqrt(x0*y0) 时间复杂度则为 O(w*log(w))

 

#include <cstdio>
#include <cmath>
#define ll long long 
using namespace std ;

ll xx,yy,x,y,sum,r ;
int ans ; 

ll gcd(ll x,ll y) 
{
    if(!y) return x ;
    return gcd(y,x%y) ;      
}

int main() 
{
    scanf("%lld%lld",&xx,&yy) ;
    sum = xx*yy ;
    r = sqrt(sum) ; 
    for(ll x=xx;x<=r;x++)  
    {
        if(sum%x!=0) continue ;
        y = sum/x ;
        if(xx==gcd(x,y)) 
        {
            
          if(x==y) ans++;
              else ans+=2 ; 
            printf("%lld %lld\n",x,y) ;
        }
    }
    printf("%d\n",ans) ;
    return 0 ;
}

 

# include <math.h>
# include <stdio.h>
int main()
{
    int x0,y0,h,ratio,factor=0;
    scanf("%i%i",&x0,&y0);                      //输入给定的最大公约数x0和最小公倍数y0
    if(y0%x0)                                  //如果y0不是x0的倍数
        return !puts("0");                      //则不存在满足给定最大公约数和最小公倍数的数
    for(ratio=y0/x0,h=2;ratio>1;h++)          //y0与x0的比值为ratio
    {                                          //将ratio分解质因数
        factor+=!(ratio%h);                      //可以分解出的质因数的种数为factor
        while(!(ratio%h))
            ratio/=h;                          //保证分解出的因数h是质数
    }
    return !printf("%.0f\n",pow(2,factor));      //输出满足给定要求的数的对数pow(2,factor)
}

另外还有一种神奇的做法是我从题解中看到的，不过比较难理解
因为我们发现 每多一种方案，其实就是把 x扩大k倍 y缩小k倍 然后这个k值是从 y0/x0 中取的，因为
显然不能扩太大，使x超过两数最小公倍数y0了， 但这个扩大也不是无规律的，x扩大了k倍 ，y缩小后因子就不能有 k
否则就不能维持相对平衡了， 那就是说相同的因子要站在同一边，这样每类因子有两种站边选择，这样所有的方案数就是2^factor