排序算法之插入排序

1、插入排序的思想

　　插入排序是一个对少量元素进行排序的有效算法，其工作机理与很多人打牌时，整理自己手中牌时的做法差不多。开始我们手中没有牌，

牌面朝下的放在桌上。之后，我们一张一张的从桌上摸牌到手上，每当我们摸一张牌时都会将所摸之牌放到所摸牌中的正确位置，这时就要

将它与手中已有的牌从右至左地进行比较，因此无论什么时候，手中的牌都是排好序的，而这些牌原来都是桌面上的牌的最上面一张。

下面给出该算法的伪代码：

INSERTION-SORT(A)
    for j <-- 2 to length[A]
        do key <-- A[j]
        i <-- j - 1
        while i > 0 and A[i] > key
            do A[i + 1] <-- A[i]
            i <-- i - 1
        A[i + 1] <-- key

2、插入排序算法的分析

　　插入排序过程的时间开销与输入有关，还有，即使排序两个相同长度的输入序列，所需的时间也可能不同。这取决于他们已排序的程度。

一般来说，算法所需时间是与输入规模同步增长的，因而常常将一个程序的运行时间表示为其输入的函数。

　　算法的运行时间是指在特定输入时，所执行的基本操作数（或步数）。目前，先假设，每执行一行伪代码都要花一定量的时间。虽然每

一行所花的时间可能不同，但我们假定执行第i行所花的时间都是常量c_i。

　　首先给出该算法每一条指令的执行时间及执行次数。对j=2，3，...，n，n=length[A]，设t_j为第5行中while循环所做的测试次数。当

for或while循环以通常方式退出时，测试要比循环体多执行一次。

　　由伪代码我们可以得出每一行所执行的次数为：n，n-1，n-1，n-1，Σt_j（j=[2，n]），Σ(t_j - 1)（j=[2，n]）,Σ(t_j - 1)（j=[2，n]）,n-1.由此我们可以读出该算法的总的运行时间为c₂n+...+c₈（n-1）。

　　如果输入的数组已经是排好序的话，就会出现最佳情况。对j=2,3...，n中的每一个值，我们发现，在第5行中，当i取其初始值j-1时，

都有A[i]<key。于是，对j=2,3，...，n，有t_j=1，则最佳的运行时间为：(c₂+c₃+c₄+c₅+c₈)n-(c₃+c₄+c₅+c₈)。

　　其可以表示为an+b，因此，它是n的一个线性函数。