并查集

并查集主要用于实现集合的合并。一个并查集至少支持以下两种操作：

1. 合并：将两个集合合并为一个集合
2. 查询：查询两个元素是否在一个集合中

并查集利用树的性质实现这两种功能，每个集合都用该集合中所有元素的祖先来表示，所以用一个 fa 数组记录每个元素的祖先。初始情况下，所有元素均各自独立，即 \(fa[i]=i\)，也就是一片由 \(n\) 棵大小均为 \(1\) 的树组成的森林。那么合并的时候只需要把两个集合的祖先变成同一个，查询的时候只需判断两个集合的祖先是否一致即可。现在唯一的问题是，在经过若干次修改后如何快速确定某个元素的祖先。

一个简单的想法是直接暴力跳 fa 数组，直到找到祖先就是自己的元素为止，这个元素就肯定是祖先了。但是这样复杂度不能保证。但是可以发现，这个到祖先的路径中除了祖先之外的结点是没什么用处的，所以直接把这些结点的 fa 设为祖先就好了，这就是路径压缩，可以把一条路径上的点全都直接连接到根上。

简单的实现：

int findfa(int x){
    return fa[x] == x ? fa[x] : fa[x] = findfa(fa[x]);
}

采用路径压缩优化后，findfa 操作的最坏时间复杂度是 \(O(\log n)\) 的，但它可以被进一步优化：按秩合并。按秩合并的想法也很好理解：当我们合并两个集合时，本质上是将两棵树合并为一棵，那么肯定是把小的树作为大的树的子树更合适。无论用点数还是深度来评判树的大小，同时使用路径压缩和按秩合并的时间复杂度都是 \(O(\alpha(m,n))\)（\(\alpha\) 是反 Ackermann 函数）。如果不用路径压缩只用按秩合并，时间复杂度同样为 \(O(\log n)\)。

此外，并查集的边上也可以定义权值，在路径压缩的过程中修改，这就是带权并查集。