博弈游戏2

问题

Alice 和 Bob 在玩一个奇怪的游戏：有 \(n\) 堆石子，每堆石子的个数为 \(s_i\)，游戏开始时，Bob 先构造 \(n\) 个集合，记为 \(B_1\dots B_n\)，每个集合的元素均为不小于 \(1\) 且不大于 \(n\) 的自然数，集合不能为空，元素不重复。Bob 构造完成后向 Alice 揭示所有的集合，Alice 看过这些集合后也按照相同的规则构造一个集合（集合的元素均为不小于 \(1\) 且不大于 \(n\) 的自然数，集合不能为空，元素不重复），记为 \(A\)。随后，遍历所有的堆，对于第 \(i\) 堆石子，如果集合 \(B_i\) 和 \(A\) 的交集的大小是偶数，则 Bob 取走第 \(i\) 堆石子，否则Alice 取走第 \(i\) 堆石子。游戏结束后，获得更多的石子的一方获胜。问 Alice 是否存在必胜策略。

答案

考虑将每个集合表示成 \(\{0,1\}^n\) 的向量，例如，将集合 \(A\) 转化为向量 \(a=(a_1,a_2,\dots,a_n)^\intercal\)，如果 \(j\in A\)，则 \(a_j=1\)，否则 \(a_j=0\)。用同样的方法将集合 \(B_i\) 转化为向量 \(b_i\)。

那么，交集大小就是：

\[|A\cap B_i|=a^\intercal \cdot b=\sum_{j=1}^n a_j b_{ij} \]

假设 Alice 采取了某种策略 \(a\)，定义她的收益（即获得的石子数量）为

\[R(a)\triangleq \sum_{i=1}^n s_i(a^\intercal \cdot b\pmod 2) \]

算上不被允许的空集在内，Alice 一共有 \(2^n\) 种策略，用 \(\mathcal{A}\) 表示所有这些策略的集合。这所有策略产生的总收益是

\[\sum_{a\in \mathcal{A}}R(a)=\sum_{a\in \mathcal{A}}\sum_{i=1}^n s_i\bigg(a^\intercal \cdot b_i\pmod 2\bigg)\\ =\sum_{i=1}^n s_i\bigg(\sum_{a\in \mathcal{A}}a^\intercal \cdot b_i\pmod 2\bigg) \]

这里的 \(\sum_{a\in \mathcal{A}}a^\intercal \cdot b\pmod 2\) 就有很好的性质了。注意到 \(b_i\) 是一个非零向量，所以它的秩为 \(1\)，解空间的维度就是 \(n-1\)，即，总共有 \(2^{n-1}\) 个向量 \(a\) 满足 \(a^\intercal \cdot b_i= 0\pmod 2\)。相应的，有 \(2^{n-1}\) 个向量 \(a\) 满足 \(a^\intercal \cdot b_i= 1\pmod 2\)。

因此，可以求出所有策略的总收益为

\[\sum_{a\in \mathcal{A}}R(a)=2^{n-1}\sum_{i=1}^n s_i \]

显然，如果 Alice 选择空集，她的收益是 \(0\)。那么，如果她从合法的策略中随机抽取一个，她获得的平均收益是

\[\bar{R}(a)=\frac{2^{n-1}}{2^n-1}\sum_{i=1}^n s_i\\ =\frac{2^n}{2^n-1}\bigg(\frac{1}{2}\sum_{i=1}^n s_i\bigg) \]

这说明，至少存在一种策略 \(a\)，使得 Alice 的收益超过了石子总数的一半。因此，Alice 是必胜的。