协方差与协方差矩阵
标签： 协方差 协方差矩阵 统计
引言
最近在看主成分分析（PCA），其中有一步是计算样本各维度的协方差矩阵。以前在看算法介绍时，也经常遇到，现找了些资料复习，总结如下。
协方差
通常，在提到协方差的时候，需要对其进一步区分。（1）随机变量的协方差。跟数学期望、方差一样，是分布的一个总体参数。（2）样本的协方差。是样本集的一个统计量，可作为联合分布总体参数的一个估计。在实际中计算的通常是样本的协方差。
随机变量的协方差
在概率论和统计中，协方差是对两个随机变量联合分布线性相关程度的一种度量。两个随机变量越线性相关，协方差越大，完全线性无关，协方差为零。定义如下。
\[\operatorname {cov} (X,Y)=\operatorname {E} {{\big [}(X-\operatorname {E} [X])(Y-\operatorname {E} [Y]){\big ]}}
\]
当\(X\)，\(Y\)是同一个随机变量时，\(X\)与其自身的协方差就是\(X\)的方差，可以说方差是协方差的一个特例。
\[\operatorname{cov}(X,X)=\operatorname{E}\big[(X-\operatorname{E}[X])(X-\operatorname{E}[X])\big]
\]
或
\[\operatorname{var}(X)=\operatorname{cov}(X,X)=\operatorname{E}\big[(X-\operatorname{E}[X])^2]
\]
由于随机变量的取值范围不同，两个协方差不具备可比性。如\(X\)，\(Y\)，\(Z\)分别是三个随机变量，想要比较\(X\)与\(Y\)的线性相关程度强，还是\(X\)与\(Z\)的线性相关程度强，通过\(\operatorname{cov}(X,Y)\)与\(\operatorname{cov}(X,Z)\)无法直接比较。定义相关系数\(\eta\)为
\[\eta ={\dfrac {\operatorname {cov} (X,Y)}{\sqrt {\operatorname {var} (X)\cdot \operatorname {var} (Y)}}}\
\]
通过\(X\)的方差\(\operatorname{var}(X)\)与\(Y\)的方差\(\operatorname{var}(Y)\)对协方差\(\operatorname{cov}(X,Y)\)归一化，得到相关系数\(\eta\)，\(\eta\)的取值范围是\([-1,1]\)。\(1\)表示完全线性相关，\(-1\)表示完全线性负相关，\(0\)表示线性无关。线性无关并不代表完全无关，更不代表相互独立。
样本的协方差
在实际中，通常我们手头会有一些样本，样本有多个属性，每个样本可以看成一个多维随机变量的样本点，我们需要分析两个维度之间的线性关系。协方差及相关系数是度量随机变量间线性关系的参数，由于不知道具体的分布，只能通过样本来进行估计。
设样本对应的多维随机变量为\(\textbf X=[X_1, X_2, X_3, ..., X_n]^T\)，样本集合为\(\{\textbf x_{\cdot j}=[x_{1j},x_{2j},...,x_{nj}]^T|1\leqslant j\leqslant m\}\)，\(m\)为样本数量。与样本方差的计算相似，\(a\)和\(b\)两个维度样本的协方差公式为，其中\(1\leqslant a\leqslant n\)，\(1\leqslant b\leqslant n\)，\(n\)为样本维度
\[q_{ab}=\dfrac {\sum_{j=1}^m{(x_{aj}-\bar x_a)(x_{bj}-\bar x_b)}}{m-1}
\]
这里分母为\(m-1\)是因为随机变量的数学期望未知，以样本均值代替，自由度减一。
协方差矩阵
多维随机变量的协方差矩阵
对多维随机变量\(\textbf X=[X_1, X_2, X_3, ..., X_n]^T\)，我们往往需要计算各维度两两之间的协方差，这样各协方差组成了一个\(n\times n\)的矩阵，称为协方差矩阵。协方差矩阵是个对称矩阵，对角线上的元素是各维度上随机变量的方差。我们定义协方差矩阵为\(\Sigma\)，这个符号与求和\(\sum\)相同，需要根据上下文区分。矩阵内的元素\(\Sigma_{ij}\)为
\[\Sigma_{ij}=\operatorname{cov}(X_i,X_j)=\operatorname{E}\big[(X_i-\operatorname{E}[X_i])(X_j-\operatorname{E}[X_j])\big]
\]
这样这个矩阵为
\[\Sigma=\operatorname{E}\big[(\textbf X-\operatorname{E}[\textbf X]\big)(\textbf X-\operatorname{E}[\textbf X])^T]
\]
\[=\begin{bmatrix}
\operatorname{cov}(X_1, X_1) &
\operatorname{cov}(X_1, X_2) &
\cdots &
\operatorname{cov}(X_1, X_n) \\
\operatorname{cov}(X_2, X_1) &
\operatorname{cov}(X_2, X_2) &
\cdots &
\operatorname{cov}(X_2, X_n) \\
\vdots &
\vdots &
\ddots &
\vdots \\
\operatorname{cov}(X_n, X_1) &
\operatorname{cov}(X_n, X_2) &
\cdots &
\operatorname{cov}(X_n, X_n)
\end{bmatrix} \]
\[=\begin{bmatrix}
\operatorname{E}\big[(X_1-\operatorname{E}[X_1])(X_1-\operatorname{E}[X_1])\big] & \operatorname{E}\big[(X_1-\operatorname{E}[X_1])(X_2-\operatorname{E}[X_2])\big] &
\cdots &
\operatorname{E}\big[(X_1-\operatorname{E}[X_1])(X_n-\operatorname{E}[X_n])\big] \\
\operatorname{E}\big[(X_2-\operatorname{E}[X_2])(X_1-\operatorname{E}[X_1])\big] &
\operatorname{E}\big[(X_2-\operatorname{E}[X_2])(X_2-\operatorname{E}[X_2])\big] &
\cdots &
\operatorname{E}\big[(X_2-\operatorname{E}[X_2])(X_n-\operatorname{E}[X_n])\big] \\
\vdots &
\vdots &
\ddots &
\vdots \\
\operatorname{E}\big[(X_n-\operatorname{E}[X_n])(X_1-\operatorname{E}[X_1])\big] &
\operatorname{E}\big[(X_n-\operatorname{E}[X_n])(X_2-\operatorname{E}[X_2])\big] &
\cdots &
\operatorname{E}\big[(X_n-\operatorname{E}[X_n])(X_n-\operatorname{E}[X_n])\big] &
\end{bmatrix}\]
样本的协方差矩阵
与上面的协方差矩阵相同，只是矩阵内各元素以样本的协方差替换。样本集合为\(\{\textbf x_{\cdot j}=[x_{1j},x_{2j},...,x_{nj}]^T|1\leqslant j\leqslant m\}\)，\(m\)为样本数量，所有样本可以表示成一个\(n \times m\)的矩阵。我们以\(\hat \Sigma\)表示样本的协方差矩阵，与\(\Sigma\)区分。
\[\hat \Sigma=\begin{bmatrix}
q_{11} & q_{12} & \cdots & q_{1n} \\
q_{21} & q_{21} & \cdots & q_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
q_{n1} & q_{n2} & \cdots & q_{nn}
\end{bmatrix} \]
\[=\frac {1}{m-1}
\begin{bmatrix}
{\sum_{j=1}^m{(x_{1j}-\bar x_1)(x_{1j}-\bar x_1)}} &
{\sum_{j=1}^m{(x_{1j}-\bar x_1)(x_{2j}-\bar x_2)}} &
\cdots &
{\sum_{j=1}^m{(x_{1j}-\bar x_1)(x_{nj}-\bar x_n)}} \\
{\sum_{j=1}^m{(x_{2j}-\bar x_2)(x_{1j}-\bar x_1)}} &
{\sum_{j=1}^m{(x_{2j}-\bar x_2)(x_{2j}-\bar x_2)}} &
\cdots &
{\sum_{j=1}^m{(x_{2j}-\bar x_2)(x_{nj}-\bar x_n)}} \\
\vdots &
\vdots &
\ddots &
\vdots \\
{\sum_{j=1}^m{(x_{nj}-\bar x_n)(x_{1j}-\bar x_1)}} &
{\sum_{j=1}^m{(x_{nj}-\bar x_n)(x_{2j}-\bar x_2)}} &
\cdots &
{\sum_{j=1}^m{(x_{nj}-\bar x_n)(x_{nj}-\bar x_n)}}
\end{bmatrix}
\]
\[=\frac {1}{m-1} \sum_{j=1}^m (\textbf x_{\cdot j} - \bar {\textbf x}) (\textbf x_{\cdot j} - \bar {\textbf x})^T
\]
公式中\(m\)为样本数量，\(\bar {\textbf x}\)为样本的均值，是一个列向量，\(\textbf x_{\cdot j}\)为第\(j\)个样本，也是一个列向量。
在写程序计算样本的协方差矩阵时，我们通常用后一种向量形式计算。一个原因是代码更紧凑清晰，另一个原因是计算机对矩阵及向量运算有大量的优化，效率高于在代码中计算每个元素。
需要注意的是，协方差矩阵是计算样本不同维度之间的协方差，而不是对不同样本计算，所以协方差矩阵的大小与维度相同。
很多时候我们只关注不同维度间的线性关系，且要求这种线性关系可以互相比较。所以，在计算协方差矩阵之前，通常会对样本进行归一化，包括两部分：
- \(\textbf y_{\cdot j} = \textbf x_{\cdot j } - \bar {\textbf x}\)。即对样本进行平移，使其重心在原点；
- \(\textbf z_{i \cdot} = \textbf y_{i \cdot} / \sigma_i\)。其中\(\sigma_i\)是维度\(i\)的标准差。这样消除了数值大小的影响。
这样，协方差矩阵\(\hat \Sigma\)可以写成
\[\hat \Sigma=\frac {1}{m-1} \sum_{j=1}^{m}\textbf z_{\cdot j} \textbf z_{\cdot j}^T
\]
该矩阵内的元素具有可比性。
