数理逻辑期末冲刺大纲

复习思路：
PPT例题+作业题+Enderton课后题
觉得重要的就写写记记

绪论

逻辑有效性
我们称一个推演步骤是逻辑有效的，当且仅当它的有效性仅由其前提与结论中的话题无关词汇决定。对于一个逻辑有效的演绎，我们称其前提逻辑上蕴涵（logically entails）其结论。

怎么确定是否话题无关？

命题逻辑

使用不属于“命题逻辑符号”中的符号来帮助我们进行书写和理解，这些符号被称为元语言（meta-language）

定义： 表达式（expression）是有穷个符号构成的序列。

定义(wff): 1. 每个命题符号都是合式公式
2. 若\(\alpha,\beta\)是合式公式，那么\(\neg\alpha\)和 \((\alpha\square\beta)\) 也是合式公式。
3. 除此以外都不是合式公式。
也可用BNF定义为\(\varphi::=\mathbf{A}_i\mid(\neg\varphi)\mid(\varphi_1\wedge\varphi_2)\mid(\varphi_1\vee\varphi_2)\mid(\varphi_1\rightarrow\varphi_2)\mid(\varphi_1\leftrightarrow\varphi_2)\)

定义 构造运算
略

定义 构造序列
有穷序列\(\langle\epsilon_1,\ldots,\epsilon_n\rangle\)被称为一个命题公式的构造序列，当且仅当对任意\(i\leq n\) 满足以下条件之一：
1\(\textbf{. }\epsilon_i\)是一个命题符号
2\(\textbf{. }\epsilon_i=\mathcal{E}_\neg(\epsilon_j)\text{,}j<i\)
\(3.~\epsilon_i=\mathcal{E}_\square(\epsilon_j,\epsilon_k),~j<i\) 且\(k<i\)

自下而上定义wff集合
\(\begin{aligned}&S_0=\{\mathbf{A}_1,\ldots\}\\&S_i=\{\neg\alpha\mid\alpha\in S_{i-1}\}\cup\{\alpha\square\beta\mid\alpha\in S_{i-1},\beta\in S_{i-1},\square=\wedge,\vee,\rightarrow,\leftrightarrow\}\cup S_{i-1}\\&S_{*}=\bigcup_{n}S_{n}\end{aligned}\)

自上而下定义wff集合
\(S^*=\bigcap\{S\mid S\text{ 包含所有命题符号且关于五种公式构造运算封闭}\}\)

定理
\(S=S^*=S_*\)

归纳原理

略，本质是结构归纳

解析算法

是在验证\(\overline{v}\)是否well-defined
引理：每个wff左右括号相等，每个wff的一个真初始段左括号多于右括号。
算法5步，很容易记住。
可知每个wff对应唯一的一棵树。
进而可以证明

唯一可读性定理

对于五种公式构造运算在 （即所有wff）上的限制\(\mathcal{E}_\neg|_S\)和\(\mathcal{E}_\square|_S\)：
1.值域互不相交
2.是一一映射

真值指派

对于命题符号集合S，真值指派v是指一个函数 \(v:S\rightarrow\{F,T\}\)
设\(\overline{S}\)是\(S\)通过5种构造运算得到的wff的集合，则可以把v扩展到\(\overline{v}:\overline{S}\rightarrow\{F,T\}\)，具体映射方式由一些递推规则确定

命题联结词与布尔函数与wff

本质上是一样的？

归纳定理

这里的归纳定理是判断\(\overline{v}\)是否是well-defined的

可满足性问题

给定一个命题逻辑wff\(\alpha\)，问是否存在一个真值指派\(v\)，使得\(v\models\alpha\)

重言蕴含

略，真值指派什么的

语义的演绎定理

Semantic Deduction Theorem
\(1.\quad\{\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n\}\vDash\beta\) 当且仅当\(\vDash\alpha_1\wedge\alpha_2\wedge\ldots\wedge\alpha_n\to\beta\)
\(2.\quad\{\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n\}\vDash\beta\) 当且仅当\(\vDash\alpha_1\to(\ldots(\alpha_{n-1}\to(\alpha_n\to\beta))\ldots)\)

联词的完全组

如何证明一组命题联词不是功能完全的？
1.证明其不能复合出某个布尔函数，如\(B_¬\)、\(B_∧\)或\(B_∨\)
2.寻找，例如\(B_¬\)的某个性质，证明所有能复合出来的函数都不具备该性质
3.归纳证明这点

演绎计算
自然演绎（natural deduction）
ND的矢列演算（sequent calculus）
公理系统推导（axiomatic derivation）

公理系统

推导的定义：略

可证的定义：略

定理的定义：略

命题逻辑公理：略，共14条

推理规则：MP规则

语法的演绎定理

$\Gamma\cup{\alpha}\vdash\beta\Leftrightarrow\Gamma\vdash\alpha\rightarrow\beta $

\(\vdash\)的三个性质:自反性，单调性，传递性

证明所需引理：$\text{若}\Gamma\vdash\alpha\text{且}\Gamma\vdash\alpha\rightarrow\beta\text{,那么}\Gamma\vdash\beta $

证明过程：略，还是挺妙的，对证明序列（推导）的长度归纳

命题逻辑公理系统的可靠性

\(若Γ ⊢ α，那么Γ ⊨ α\)

证明需要的命题：
命题逻辑公理均为重言式

证明过程：略，仍然是对证明序列（推导）的长度归纳

命题逻辑公理系统的完备性

目标是证明\(若Γ ⊨ α，那么Γ ⊢ α\)

证明需要引入一致性

一致性

\(一个wff集合Γ是一致的（consistent），当且仅当Γ ⊬ ⊥\)

定理：$Γ ⊢ α $当且仅当 \(Γ ∪ {¬α}\)不一致
只用公理系统推导即可证明。

引理：这两个命题等价
\(\begin{aligned}&\text{ı. 若}\Gamma\text{一致,则}\Gamma\text{可满足}\\&\text{2. 若}\Gamma\vDash\alpha\text{,则}\Gamma\vdash\alpha\end{aligned}\)

证明完备性转化为寻找真值指派的问题。

完全集

$\text{一个}\mathrm{~wff}\text{集合}\Gamma 被称为完全集当且仅当对任意\mathrm{wff~}\alpha\text{,要么}\alpha\in\Gamma\text{,要么}\lnot\alpha\in\Gamma $

定理：如果 Г 是完备( complete ) 且一致( consistent ) 的，那么：
\(1.若\Gamma\vdash\alpha\),则\(\alpha\in\Gamma\) \(2.~\alpha\to\beta\in\Gamma\) 当且仅当要么 \(\alpha\not\in\Gamma\), 要么 \(\beta\in\Gamma\)

Lindenbaum引理
每一个一致的wff集合Γ都可被扩张为一个完全且一致的集合（极大一致集）Γ∗

构造Γ∗的模型
令\(\Gamma^*\)是一个完备一致的wff集合，对其中的每个原子命题\(A\)令
\(v(\Gamma^*)=\begin{cases}T&\quad\mathrm{if~}\mathbf{A}\in\Gamma;\\F&\quad\mathrm{if~}\mathbf{A}\not\in\Gamma&\end{cases}\)

引理
v(Γ∗)是Γ∗的模型（model），即v(Γ∗) ⊨ α当且仅当α ∈ Γ∗

定理
若\(\Gamma\)一致,则\(\Gamma\)可满足

一阶逻辑

一阶语言组成

逻辑符号【括号、命题联结符号、变量、等于符号（可选）】与参数【量词符号、谓词符号、常数符号、函数符号】
给定一个一阶语言，必须指定有无等于符号、参数有哪些。

表达式

符号的任意有限序列

项

由常数符号和变量通过使用0次和多次运算\(F_f\)得到的表达式的集合。
项有唯一可翻译性，可毫无二义进行分解。

原子公式

具有\(Pt_1...t_n\)形式的表达式，其中P是n元谓词符号。

合式公式

原子公式通过运用0次或多次公式构造算子形成的表达式集合。
公式构造算子：
\(\begin{aligned}\mathcal{E}_{\neg}(\gamma)&=(\neg\gamma)\\\mathcal{E}_{\leftarrow}(\gamma,\delta)&=(\gamma\leftarrow\delta)\\\mathcal{Q}_i(\gamma)&=\forall\boldsymbol{v}_i\gamma\end{aligned}\)

自由变量

\(x\)在\(\alpha\)中自由出现(x:变元 \(\alpha\):合式公式)
定义略，是递归定义的。

若一个wff没有自由出现的变元，则称它是闭公式（closed wff）或语句（sentence）

结构、翻译、满足、模型

结构要指明论域、除量词外其他参数的含义。
翻译：变量到论域的函数。可以扩展到项到论域的函数。
给定结构，一个翻译可以满足一个wff。满足的定义也是从项扩展到原子公式再扩展到wff的。

若\(s_1\)与\(s_2\)是两个从\(V\)到\(|\mathfrak{A}|\) 的变量赋值函数，它们在wff 所有自由变元（如果有的话）上的取值相等，那么
\(\vDash_{\mathfrak{A}}\varphi[s_1]\quad\text{iff}\quad\vDash_{\mathfrak{A}}\varphi[s_2]\)

模型：结构是句子集的模型

逻辑蕴涵

略，结构啊翻译啊什么的

结构中的可定义性

用含有自由变量的公式来定义结构论域中的子集

类

\(Mod\Sigma\)表示\(\Sigma\)的所有模型组成的集合。
由一条FOL语句定义的类被称为初等类\(EC\)
由FOL语句集合 定义的类被称为广义初等类\(EC_\Delta\)

同态与同态定理

一个结构论域到另一个结构论域的函数，要满足三个条件（对谓词、对函数、对常数）

同态定理略

初等等价与自同构

略

证明，FOL的公理系统

略，证明和命题逻辑里的推导很像，是有穷wff序列。

六条公理，那可真是太重要了。

公理中的重言式是什么意思

这里是把命题逻辑中的东西给导过来。

区分重言蕴涵和逻辑蕴涵。

变元替换

项\(t\)对于\(\alpha\)中的变元\(x\)是可替换的

一阶逻辑的元定理

演绎定理

逆否命题

归谬

概括定理

常数概括定理

约束变元替换定理

等词相关定理

可靠性

Gödel完备性定理

题

命题逻辑

一阶逻辑

其他

回忆：
自反
反自反
对称
反对称
非对称
欧几里得
等价