[problem10]欧拉

The sum of the primes below 10 is 2 + 3 + 5 + 7 = 17.

Find the sum of all the primes below two million.

解题思路：看上去简单的透明。下面是我的瞬间实现：

 1 #include <iostream>
 2 using namespace std;
 3 
 4 bool isPrime(int val)
 5 {
 6     for(int i = 2; i < val; i++)
 7     {
 8         if(val % i == 0)
 9             return false;
10     }
11 
12     return true;
13 }
14 
15 int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
16 {
17     unsigned long sum = 0;
18     for(unsigned int i = 2; i <= 2000000; i++)
19     {
20         if(isPrime(i))
21             sum += i;
22     }
23     cout << sum << endl;
24 
25     return 0;
26 }

结果是：根本算不出来！最终花了>15min才算完。为什么呢？起初就老想着是需要多线程来提高速度的。看了欧拉problem10的thread，并对质数的性质及判断技巧做了学习，才弄明白。下面是我的总结：

1. 在判断是否质数时，最佳实践是limit为被判断数字的平方根。这个认识应该说是相当基础的（我承认我弱了在这个知识点上）。算法速度的差别主要就是这里造成的：判断到 n / 2， 算完需要> 14min；而判断到sqrt(n)，却仅仅需要 < 1second!!! 这是我第一次见识到算法造成的血淋淋的速度巨大差异的事实！这下子记住了！

2. 在考虑算法时，一定要把数学上相关的知识点，定理考虑进去。在问题规模小的时候可能感觉不到差别，但是规模一变大，那区别就出来啦。

3. 考虑到各数据类型的取值范围，能否包含下你面对的问题的limit。关于数据类型的溢出（overflow）。比如int的取值范围是（-2exp31，2exp31-1），赋给它超出取值范围的整数就会导致 overflow。因此，要根据问题选择合适的整数数据类型。非常清楚int， unsigned int，long（on 32bit, same as int）， unsigned long， long long， unsigned long long的取值范围。

4. IO确实相当占用时间。cout的使用直接导致<1 second的算法花了N倍的时间。

5. 关于素数的数学特性：

--2是唯一偶素数
--任何大于1的正整数n可以唯一表示成有限个素数的乘积: n=p_1p_2...p_s, 这里p_1≦p_2 ≦...≦p_s是素数。 这个定理也经常被称为唯一因子分解定理。 因为，任何非素数都可以被分解，分解到不能分解，必然是一组素数的乘积。
--判断质数的技巧
　 　根据质数的定义，在判断一个数n是否是质数时，我们只要用1至n-1去除n，看看能否整除即可。但我们有更好的办法。先找一个数m，使m的平方大于n， 再用<=m的质数去除n，如果都不能整除，则n必然是质数。如我们要判断1993是不是质数，50*50>1993，那么我们只要用1993 去除<50的质数就可以了。100以内的质数有25个，还是比较好记的，我们只要记熟100以内质数，就可以快速判断10000以内的数是不是质数 了。

#include <cmath>
#include <ctime>
#include <iostream>
using namespace std;

bool isPrime(unsigned long val)
{
    // best practice: sqrt(val) is the desired limit. Otherwise, for example using val/2 as the limit, 14mins VS 500milliseconds would be the result.
    unsigned long limit = (unsigned long)sqrt((float)val); 
    for(unsigned long i = 3; i <= limit; i += 2 )
    {
        if(val % i == 0)
            return false;
    }

    return true;
}

int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{    
    clock_t startTime = clock();
    long long sum = 2;
    for(unsigned long i = 3; i < 2000000; i += 2) // except 2, all primes are odd.
    {
        if(isPrime(i))
            sum += i;
        //cout << "i: " << i << endl; IO is very very time-consuming.
    }
    cout << "sum: "<< sum << endl;
    clock_t endTime = clock();
    double spentTime = difftime(endTime, startTime); // milliseconds
    cout << "spentTime: " << spentTime << endl;
    
    return 0;
}