线性代数--二次型

二次型化为矩阵表达式

二次型：每项的幂都是2
二次型的矩阵一定是对称的
$$A^T=A$$
矩阵A：二次型的矩阵

标准型

只有平方项叫做标准型 平方项的系数可以取零

线性替换

X=CY 线性替换
$$\left|c\right|=0可逆称为非退化替换\left|c\right|\ne 0不可逆称为非退化替换$$

定理：

1. 二次型经过线性替换之后仍然是新的二次型的矩阵 仍然是对称的
   

合同

$$A,B是n阶方阵，存在可逆矩阵C,使得C^{T}AC=B$$

• 性质

1. 反身性
   
2. 对称性
   
3. 传递性
   
4. 矩阵左乘可逆矩阵或右乘可逆矩阵秩不变
   
5. 
6. 
7. 

矩阵的关系

化二次型为标准型

有三种方法：

1. 配方法
   
   还有一步：
   
   只有交叉项的配方：
   有三个变量令：
   
   有四个变量令：
   
   然后带入原式，再用配方
2. 初等变换
   $$\left(\begin{array}{c}A\\ E\end{array}\right)⟶\left(\begin{array}{c}\wedge \\ C\end{array}\right)$$
   
   
   
3. 正交替换
   

规范型

1. 正向个数叫正惯性指数
2. 负向个数叫负惯性指数
3. 相减叫符号差

有定性

• 有定的
  
• 不定的
  
  

有定性的判别

1. 正定二次型如果经过一次线性替换以后，仍是正定
   
   

顺序主子式

正定性质

1. A正定 A逆正定
2. A正定 A伴随正定
3. A正定 A的k次方也正定
4. A正定 B半正定 A+B正定
   
5. A正定 A的主对角元素大于0