【Tai_mount】 算法学习 - 线性动态规划 - luoguP1280 尼克的任务

luoguP1280 尼克的任务

想了一个下午加半个早上，但做出来感觉十分舒爽！

本篇题解作者脑抽把分钟都写成天了，没啥大问题，就不改了。

时间复杂度：O(N+K)

dp[i]表示：若该天空闲（可以接新任务），该天之前的最大空闲时间。若该天不可能空闲，则为-1

dp[i]初值均为-1(i>1),dp[1]初值为0：第一天必然空闲。（以下说的所有“空闲”都是指该天能接新任务）

设task[i][j]为：以第i天作为开始时间的第j个任务。我的程序里用数组模拟链表储存，剩下来很多空间。（所以我的代码里没有这个数组，这里为了方便表示才写的）。同时，len[i]表示第i天有len[i]个任务开始。

我们模拟的都是该天空闲的情况，若任何情况下该天都不可能空闲，dp[i]就是-1，这个点后面还会讲到。

• 若第i天空闲：
  • 若第i天有新任务可以接：遍历各任务，任务j：dp[i+t[j]]=max(dp[i+t[j]],dp[i])
  • 若第i天没有新任务可以接：dp[i+1]=max(dp[i]+1,dp[i+1])

所求：dp[n+1]

思路说明

（真的遇到过很多问题啊）

首先我们第一个想到的就是拿子问题设dp数组。每一个状态由两个量觉得：空闲/不空闲，第几天。值设为子问题答案。

所以设dp[i][j]为第i天前的最大空闲天数，j=0则当天空闲，j=1则当天不空闲。

这里为什么要设是第i天前呢？我们的递推是由在某个状态下，主动更新后续的状态，而非在此状态下根据前面的信息更新自己。该状态如果空闲，还需要决策接什么任务或者没任务可接，这种情况下如果设成当天结束后的空闲时间，该状态还要考虑自己值会变化的问题，整个思路就有些乱了，不如干干净净地。这样该状态下如何决策都不会影响该状态的值。

我们发现：

• 若第i天j=0：
  • 若无任务可以接：dp[i+1][0]=max(dp[i][0]+1,dp[i+1][0])。也就是第i天摸鱼了，空闲时间+1
  • 若有任务可以接，接了任务j,任务的持续时间为t[j]：dp[i+t[j]]=max(dp[i+t[j]],dp[i])。
• 若第i天j=1：他能做什么呢？他什么也做不了，没法接任务的状态更新不了任何东西

审视完以后，我们发现不空闲的状态不能接任务，也并非最终答案（最终答案应该是dp[n+1][0]），所以，我要他有何用？

我们简化dp数组为：第i天空闲状况下，第i天前的最长休息时间。

然后作者就这样写了，一直没过，我们漏掉一个很重要的东西：第i天一定是在空闲状况下。

如果这一天根本就不可能空闲下来，比如第一天有两个任务，1_3，14，那么2,3两天一定空不下来。

我们还神奇的发现，如果第i天空闲，接了一个长度为t的任务，任务持续于i~i+t-1天的。也就是说i+t这一天一定空闲。同样的，第i天空闲又没有任务可接，i+1天也同样是空闲的。

抽象出来，我们可以建一个perm的bool数组，仅当perm为true的时候才可以由此状态更新后面的状态，perm为false就直接跳过。而某状态可以把它所更新的状态的perm都设成true。

事实上后来还能简化掉perm，因为设perm和更新dp都是去操作同一个状态，如果第i天没接任务就都是设i+1，接了任务就是设i+t。那我们直接删掉perm，把dp数组初值都赋成-1,然后dp[1]单独赋成0。第一天肯定是能接任务的。

代码实现：

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N=10007;
int n,k;
int edges[N],fst[N],nxt[N],dp[N];
void input(){//用链表储存任务，接在任务的开始时间处。edges[N]里储存持续时间，因为作者是学储存图的时候学的链表，所以习惯这样写
	cin>>n>>k;
	int p,t;
	for(int i=1;i<=k;i++){
		cin>>p>>t;
		edges[i]=t;
		nxt[i]=fst[p];
		fst[p]=i;
	}
}
void dpfun(){
	memset(dp,-1,sizeof(dp));
	dp[1]=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(dp[i]==-1) continue;
		int f=fst[i];
		if(!f){
			dp[i+1]=max(dp[i]+1,dp[i+1]);
			continue;
		} 
		dp[i+edges[f]]=max(dp[i+edges[f]],dp[i]);
		while(nxt[f]){
			f=nxt[f];
			dp[i+edges[f]]=max(dp[i+edges[f]],dp[i]);
		}
	}
}
void output(){
	cout<<dp[n+1];
}
int main(){
	input();
	dpfun();
	output();
	return 0;
}

链表没有学过可以补一下哦~这里就不赘述了。

谢谢观看。