6-Nameless Representation of Terms

无名称项

de Bruijn 使用自然数来表示项，而不是字母组成的名称；自然数 k 表示绑定于相对于当前层第 k 个 绑定器 binder 的囿变量（the variable bound by the k'th enclosing λ）

马世龙版《类型和程序设计语言》使用“囿”来形容这种被界定的关系

举例来说：

λx.x 表示为 λ.0

λx.λy.x (y x) 表示为 λ.λ.1 (0 1)

λm.λn.λs.λz.m s (n z s) 表示为 λ.λ.λ.λ.3 1 (2 0 1)

(λx.(λx.x)) (λx.x) 表示为 (λ.(λ.0)) (λ.0)

无名称项也称为 de Bruijn 项；用来表示项的自然数称为 Bruijn 索引，“静态距离”也表示相同的概念

定义：设 T 是最小的集簇 {T0, T1, ...} 使得：

• 当 0 <= k < n，k ∈ Tn

• 如果 t1 ∈ T 并且 n > 0 则 λ.t1 ∈ Tn-1

• 如果 t1 ∈ Tn 并且 t2 ∈ Tn 则 (t1 t2) ∈ Tn

Tn 的元素为至多含有 n 个自由变量的项

命名上下文 naming context

对于所有自由变量指派 assign 一个 de Bruijn 索引（称为一个命名上下文 naming context），并且一致地使用这个指派 Γ

数值指当前这一层的索引，当进入一个新的绑定器 binder，索引需要 + 1

比如：

定义：定义 x0, ..., xn 为变量名称，命名上下文 Γ = xn, xn-1, ..., x1, x0 为所有变量指派每个 xi，且 de Bruijn 索引为 i，序列最右边的索引是 0，代表当前这一层，与我们分配 de Bruijn 项的方式相符合；用 dom(Γ) 表示变量名称的集合 {xn, ..., x0}

移位和代换 shifting and substitution

为了正确地进行代换 substitute，有时需要改变自由变量的编号，这个操作称为移位 shift

比如：

[x → s](λy.x) where s=z(λw.w)

得到结果 λy.z(λw.w)

显然， s 中的自由变量 z 深度加深了一层，如果只单纯替换 z 在最外层的命名上下文，就忽略了绑定器的 + 1 影响

移位的本质是对绑定器产生的影响的弥补

对于上面提到的例子：

假设 (λy.x) 的无名称项是 (λ.0)，z(λw.w) 的无名称项是 2(λ.0)，2 是 z 在外层的编号（原来的编号）

那么在代换时，z → 2 应当被改变为 z → 3，同时 w → 0 则不应被改变

引入一个移位函数，这个函数携带一个具有截断功能的参数 c $\uparrow_c^d $

c 从 0 开始，每遇到一个绑定器 binder 就 + 1，因此，任意一个索引 k，当 k < c 时是囿界的，k >= c 是一个自由变量

d 代表自由变量的索引增加 d

定义：（移位函数）

定义：（代换）

练习：假定全局上下文是 Γ = a, b 计算 [b → a](b(λx.λy.b))

[b → a](b(λx.λy.b))

[0 → 1](0(λ.λ.2))

1(λ.λ.2[2 → 3])

1(λ.λ.3)

求值

与代换相反，一步求值会消除一个绑定器，应当对层内的自由变量索引 - 1

比如：

(λ.1 0 2) (λ.0) → 0 (λ.0) 1 ≠ 1 (λ.0) 2